5. Практическое занятие №5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Краткие теоретические сведения

Рассмотрим задачу получения приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.

Пусть имеется обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка ,x  [x₀, b] с начальным условием y(x₀) = y₀, где – заданная, в общем случае нелинейная функция двух переменных. Выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на заданном отрезке решения y = y(x). Рассмотрим некоторые методы решения данной задачи, называемой задачей Коши [2].

Метод последовательных приближений (метод Пикара).

Интегрируя левую и правую части уравнения в границах отx₀ до x, получаем равенство . Решение полученного интегрального уравнения можно получить методом простых итераций:

, и т.д. В общем виде:

где n = 0, 1, 2, … и y₀(x) = y₀.

Если в некоторой односвязной области G, содержащей точку (x₀, y₀), |f(x,y)|  C, |f_y(x,y)|  C₁, метод сходится, и справедлива оценка погрешности:

.

Метод Эйлера.

Пусть вычисления проводятся с расчетным шагом h = (b-x₀)/n, расчетными точками (узлами) служат точки x_i = x₀+ih (i = 0,1,…,n) промежутка [x₀, b]. Целью является построение таблицы (см. табл. 1) приближенных значений y_i решения y = y(x) задачи в расчетных точках x_i.

Таблица 1

Таблица метода Эйлера

x	x0	x1	…	xn=b
y	y0	y1	…	yny(b)

Т.к. в точке x₀ известно и значение решения y(x₀) = y₀, и значение его производной y(x₀) = f(x₀, y₀), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y = y(x) в точке (x₀, y₀):

. (11)

При малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (11) значенияx₁ = x₀ + h, мало отличается от ординаты y(x₁) решения y(x) задачи. Точка (x₁, y₁) пересечения касательной (11) с прямой x = x₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Этот процесс определяется формулой , и называется методом Эйлера или методом ломаных [2].

Исправленный метод Эйлера.

Пусть найдено приближенное значение решения рассматриваемой задачи и требуется вычислить, где. После разложения решения по формуле Тейлораp-го порядка в окрестности точки x_i и выполнения подстановки x = x_i+1, получается равенство:

. (12)

Учет только первых двух слагаемых дает обычный метод Эйлера. Если учесть третье слагаемое, можно получить формулу исправленного метода Эйлера:

.

Шаговая погрешность метода O(h³).

Методы Рунге-Кутта.

Методы Рунге-Кутта p-го порядка предполагают получение приближений к значениям f(x_i+1) по формуле вида

, (13)

где – некоторая функция, приближающая отрезок ряда Тейлора (12), которая не содержит частных производных функции f(x, y). Для построения методов Рунге-Кутта второго и т.д. порядков функция берется многопараметрической, а ее параметры подбираются сравнением (13) с многочленом Тейлора для y(x) степени, соответствующей выбранному порядку.

Пусть p = 2 и имеет структуру

.

Пусть с₂ =  (0). Определены следующие величины остальных параметров: с₁ = 1-, a = b = 1/2. Однопараметрическое семейство методов Рунге-Кутта второго порядка определяется формулой:

.

При  = 1/2 получается формула метода Хьюна:

,

при  = 1 – формула метода средней точки: .