- •Кафедра автоматизированных систем управления
- •1.2. Упражнения
- •2. Практическое занятие №2. Решение слау. Вычисление определителей и обратных матриц. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц
- •2.1. Краткие теоретические сведения
- •2.1.1. Методы решения слау
- •2.1.2. Вычисление определителей и обратных матриц
- •2.1.3. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц
- •2.2. Упражнения
- •3. Практическое занятие №3. Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы
- •3.1. Краткие теоретические сведения
- •3.2. Упражнения
- •4. Практическое занятие №4. Численное дифференцирование
- •4.1. Краткие теоретические сведения
- •4.2. Упражнения
- •5. Практическое занятие №5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1. Краткие теоретические сведения
- •5.2. Упражнения
- •6. Индивидуальное домашнее задание
- •6.1. Темы и порядок выбора задания
- •6.2. Содержание отчета по индивидуальному заданию
- •7. Литература
- •Численные методы
3.2. Упражнения
1. Дана матрица .
А) Степенным методом найти несколько последовательных приближений к доминирующему собственному числу матрицы А и к соответствующему собственному вектору.
Б) Методом обратных итераций найти младшую собственную пару {3, x3}.
2. Найти приближения к собственным числам матрицы А степенным методом.
.
3. Найти приближение к доминирующему собственному числу матрицы А и к соответствующему собственному вектору методом скалярных произведений.
.
4. Методом вращений Якоби решить задачу нахождения всех собственных пар матрицы А, если
1) , 2) .
5. Для n×n матрицы сделать приблизительный подсчет количества арифметических операций, приходящихся на:
а) один шаг степенного метода;
б) один шаг метода обратных итераций;
в) один полный цикл метода вращений Якоби.
4. Практическое занятие №4. Численное дифференцирование
4.1. Краткие теоретические сведения
Источником формул численного дифференцирования является полиномиальная интерполяция. Зная значения yi = f(xi) заданной функции f(x) в точках xi = x0+ih (i = 0, 1, …, n) при некотором h > 0, можно найти конечные разности kyi (=k-1yi+1 – k-1yi) и записать для нее, например, первый интерполяционный многочлен Ньютона Pn(x) (см. далее). Дифференцируя приближенное равенство f(x) Pn(x), можно строить формулы приближенного дифференцирования различной точности [1]. Пусть q = (x – x0)/h. Приближенное представление f(x) по первой формуле Ньютона имеет вид:
. Тогда конечноразностная формула численного дифференцирования имеет вид:
,
. (8)
Для приближенного вычисления производной функции в заданной точке x* из некоторой окрестности x0 следует найти соответствующее значение q* и подставить в формулу (8).
В частных случаях: на основе линейной интерполяции , для x(x0-, x1+), на основе квадратичной интерполяции для x(x0-, x2+) и т.д. Т.к. точкам x0, x1, x2, ... соответствуют значения q = 0, 1, 2, …, при n = 1, для линейной интерполяции получаются следующие формулы первого порядка точности:
.
Использование таких аппроксимаций дает ошибку O(h). Для формул второго порядка точности имеется ошибка O(h2).
Повторное дифференцирование приближенного равенства (8), т.е. взятие производной по x от правой части (8) с учетом dq/dx = 1/h, приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной
, (9)
из которой аналогично следует приближенная формула третьей производной
и т.д.
Для построения простой аппроксимации второй производной из разложения функции f(x) в окрестности точки xi
при x = xi+1 и x = xi-1 можно записать:
,
,
откуда после почленного сложения получается формула симметричной аппроксимации c остаточным членом:
. (10)
По формуле Тейлора для второй производной
. После подстановки сюда правой части (10) вместо получается равенство:
. Из него при x = xi+1 и x = xi-1 следуют формулы несимметричной аппроксимации второй производной с остаточными членами:
и
.
4.2. Упражнения
1. Вывести частные формулы аппроксимации второй производной в равноотстоящих узлах, основываясь на квадратичной интерполяции.
2. Вывести частные формулы аппроксимации второй производной в равноотстоящих узлах, основываясь на кубической интерполяции.
3. Записать симметричную формулу четвертого порядка точности для аппроксимации и вывести ее остаточный член, используя формулу Тейлора.
4. Вывести общую формулу численного дифференцирования, используя формулу Ньютона для неравных промежутков:
где – разделенная разность первого порядка,
–разделенная разность второго порядка и т.д.
5. Вывести частные формулы аппроксимации второй производной в неравноотстоящих узлах, основываясь на квадратичной интерполяции.