2.1.2. Вычисление определителей и обратных матриц

Формулы Крамера в общем случае не могут применяться для вычисления определителей и обратных матриц, так как связаны «проклятьем размерности». Одним из методов вычисления определителя квадратной вещественной матрицы A является метод Гаусса. Преобразования прямого хода в нём таковы, что не изменяют определителя матрицы А. Т.к. определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, определитель матрицы равен произведению всех ведущих элементов в соответствующей схеме Гаусса . Для его получения следует выполнить действия прямого хода метода Гаусса для системы Ax = 0.

Если матрица A – симметричная, для вычисления определителя можно воспользоваться методом квадратных корней: A = TT, матрица T – треугольная, см. (5), поэтому .

Метод Гаусса применяется для вычисления элементов обратной матрицы А^-1 квадратной неособенной матрицы А:

, .

Для этого используется соотношение АА^-1 = E (E – единичная матрица): при умножении матрицы А на А^-1 и приравнивании каждого элемента произведения соответствующему элементу матрицы E, получается система из n² уравнений с n² неизвестными x_ij (i, j = 1, 2, …, n). В частности, при почленном умножении каждой строки матрицы А на первый столбец матрицы А^-1 и приравнивании произведений элементам первого столбца E получается система:

.

В целом образуется n систем уравнений, имеющих одну и ту же матрицу A, с n неизвестными. Решение по методу Гаусса всех систем можно объединить в одной схеме, рассматривая одновременно n столбцов свободных членов.

Если матрицу A можно разложить в произведение A = DC двух треугольных матриц D и С, общий вид которых показан в (4), обратная матрица может быть найдена в виде A^-1 = C^-1D^-1.

2.1.3. Вычисление норм векторов и матриц, чисел обусловленности матриц

Для оценки погрешностей решения СЛАУ и других задач линейной алгебры, определения их обусловленности необходимо уметь вычислять нормы вектора и матрицы, числа обусловленности матриц.

Часто используемыми нормами являются р-нормы и ∞-норма (норма-максимум, кубическая норма): и. В вычислительных методах наиболее употребительными изр-норм являются следующие две нормы: ,. Первая называется нормой-суммой, норму ||x||₂ называют евклидовой (или сферической) нормой.

Каждой из векторных норм ||x|| соответствует своя подчиненная норма матрицы A. Известно, в частности, что нормам ||x||₁, ||x||₂, ||x||_∞ подчинены нормы ||A||₁, ||A||₂, ||A||_∞, вычисляемые по формулам:

,

где – собственные числа симметричной матрицы. ЕслиА – симметричная матрица, то . Поэтому для нее.

Для оценки величины ||A||₂ можно использовать неравенство: ||A||₂≤||A||_F, где – величина, называемая нормойФробениуса или евклидовой нормой матрицы A.

Стандартным числом обусловленности (или просто числом обусловленности) матрицы А называется величина ν(A) или cond(A), вычисляемая по формуле (для любой из норм, в частности, любой из перечисленных выше):

.

Величина cond(A) является широко используемой количественной мерой обусловленности системы Ах = b. В частности, систему и матрицу принято называть плохо обусловленными, если cond(A) >> 1.