Алгоритм расчета токов и напряжений в линейных цепях при воздействии несинусоидальной эдс
Алгоритм расчета токов и напряжений в линейных цепях при воздействии несинусоидальной ЭДС можно записать:
1. Заданные несинусоидальные ЭДС представляют в виде разложения в ряд Фурье.
2. Проводят расчет методом наложения, то есть рассчитывают токи и напряжения в цепи для каждой составляющей ряда в отдельности.
3. Записывают мгновенные значения токов и напряжений, алгебраически суммируя мгновенные значения всех гармонических составляющих.
Измерение несинусоидальных периодических токов и напряжений
При определении показаний измерительных приборов учитывают систему прибора.
Большинство систем приборов реагируют на действующее значение любой периодической кривой. Их шкалы градуируются в действующих значениях. Действующие значения тока и напряжения (I, U) измеряют приборы электромагнитной, электродинамической, электростатической и тепловой систем.
Приборы магнитоэлектрической системы с выпрямителем реагируют на среднее по модулю значение (IСР, UСР) и их шкала искусственно градуируется.
Приборы электронной
системы (амплитудные электронные
вольтметры) реагируют на амплитудное
значение измеряемых напряжений и шкала
таких приборов градуирована с учетом
коэффициента амплитуды
(но это справедливо только для
синусоидальной функции).
Поэтому измерительные приборы магнитоэлектрической системы с выпрямителем и амплитудные электронные вольтметры нельзя использовать для измерений в цепях несинусоидального тока и без учета их градуировок.
Примеры расчета токов и напряжений в линейных цепях при воздействии несинусоидальной эдс
П
ример
1. Определить
показания приборов электромагнитной
системы в цепи, схема которой показана
на рис. 7.4 , записать выражения мгновенных
значений тока и напряжений на всех
элементах цепи и построить временные
зависимости напряжения u(t)
и тока i(t).
Параметры элементов схемы:
ωL=11 Ом, R= 10 Ом.
На вход цепи подано несинусоидальное напряжение, представленное в виде аналитического разложения в ряд Фурье
При расчете
постоянной составляющей тока и
напряжений необходимо помнить, что в
цепи постоянного тока идеальная
индуктивная катушка представляет собой
короткозамкнутый участок, то есть
напряжение
.
Тогда постоянная составляющая тока
равна
Постоянная составляющая напряжения резистора в рассматриваемой цепи равна входному напряжению
Расчет гармонических составляющих тока и напряжения проведем методом комплексных амплитуд.
Определим основную (первую) гармонику тока и напряжений. Комплексная амплитуда тока гармоники
Напряжения резистора и катушки
Мгновенные значения тока и напряжений первой гармоники
Рассчитаем ток и напряжения третьей гармоники.
При расчете необходимо иметь в виду, что сопротивление индуктивного элемента зависит от частоты и для третьей гармоники комплексное сопротивление
Комплексная амплитуда тока третьей гармоники
Третья гармоника напряжения резистора и катушки
Мгновенные значения тока и напряжений третьей гармоники
Запишем выражения для мгновенных значений тока и напряжений:
На рис. 7.5 и 7.6 представлены графики временных зависимостей входного напряжения и тока, а также составляющих их гармоник.
При вычерчивании
кривых отдельных гармоник учитываем
тот факт, что период гармоники обратно
пропорционален ее номеру, так как по
оси абсцисс откладываем величину ωt,
то при построении графика третьей
гармоники напряжения ее начальная фаза
(73,14°) разделена на номер гармоники (
).
Определим показания измерительных приборов.
Показание амперметра
где действующие значения гармонических составляющих тока
Показание вольтметра
где действующие значения гармонических составляющих
Пример 2. Определить мгновенные значения тока и напряжений на всех элементах цепи. Построить временные зависимости входного напряжения u(t) и тока в цепи i(t). Определить показания амперметра в цепи, схема которой представлена на рис. 7.7. Рассчитать активную мощность всей цепи.
П
араметры
элементов схемы:
11
Ом; R = 10 Ом.
Напряжение источника:
u(t)=50+310sinωt +176sin3ωt, В.
Рассчитаем
постоянную составляю-
щую тока и напряжений
на элементах цепи. При расчете
постоянной составляющей тока и
напряжений необходимо помнить, что в
цепи постоянного тока идеальный
конденсатор представляет собой
разомкнутый участок, то есть ток
.
Тогда постоянная составляющая тока
равна
Постоянная составляющая напряжения резистора равно нулю, а напряжение конденсатора в рассматриваемой цепи равно входному напряжению
Расчет гармонических составляющих тока и напряжения проведем методом комплексных амплитуд.
Определим основную (первую) гармонику тока и напряжений.
Комплексное входное сопротивление первой гармоники
Ток основной гармоники
Действующее значение тока первой гармоники
Напряжения резистора и конденсатора
Мгновенные значения тока и напряжений первой гармоники
Рассчитаем ток и напряжения третьей гармоники.
При расчете необходимо иметь в виду, что сопротивление емкостного элемента зависит от частоты и для третьей гармоники комплексное сопротивление будет определяться
Ток третьей гармоники
Действующее значение тока третьей гармоники
Третья гармоника напряжения резистора и конденсатора
Мгновенные значения тока и напряжений третьей гармоники
Запишем выражения для мгновенных значений тока и напряжений:
На рис. 7.8 и 7.9 представлены графики временных зависимостей входного напряжения и тока, а также составляющих их гармоник.
Амперметр измеряет действующее значение входного тока
.
Активная мощность цепи
