Последовательное соединение идеальных элементов r, l, c

В цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L, C (рис. 3.8) с известным синусоидальным током i(t)=I_msin(ωt + ψ_i) уравнение для напряжения на ее зажимах запишем по второму закону Кирхгофа:

Сумме синусоидальных напряжений соответствует сумма изображающих их комплексных величин. Для действующих комплексных значений: где комплексные напряжения на элементах цепи определяют согласно закону Ома:

Тогда .

Закон Ома в комплексной форме записи: ,

где Z – комплексное сопротивление участка цепи, которое определяют как сумму комплексных сопротивлений каждого из последовательно соединенных элементов:

или в показательной форме записи:

где модуль комплексного сопротивления называют полным сопротивленем; аргумент комплексного сопротивления - угол сдвига фаз между входным напряжением и током, определяется соотношением реактивных и активных сопротивлений рассматриваемого участка:

.

При или X_L>X_C угол φ>0 и ток отстает по фазе от напряжения;

при или X_L<X_C угол φ <0 и ток опережает напряжение по фазе;

при или X_L=X_C угол φ=0, ток совпадает по фазе с напряжением и цепь ведет себя как чисто активное сопротивление. Такой режим работы цепи называют режимом резонанса напряжений.

Согласно закону Ома комплексное действующее значе- ние напряжения:

где - действующее значение приложенного к цепи напряжения; - начальная фаза напряжения; - угол сдвига фаз между напряжением на зажимах цепи и током.

Мгновенное значение напряжения на входе цепи имеет вид:

Векторные диаграммы для цепи с последовательным соединением идеальных элементов r, l, c. Треугольник напряжений. Треугольник сопротивлений

В цепи с последовательным соединением элементов R, L, C ток во всех участках один и тот же, а напряжения связаны между собой вторым законом Кирхгофа. В комплексной или векторной форме запишем:

П остроим векторную диа- грамму тока и напряжений на участках цепи с элементами R, L, C (рис. 3. 9). Примем начальную фазу тока равной нулю (ψ_i=0). Напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе c током, напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90°, напряжение на емкостном элементе отстает от тока по фазе на 90°. Напряжение на входе цепи получим как векторную сумму напряжений элементов согласно второму закону Кирхгофа.

Заштрихованный треугольник, показанный на векторной диаграмме (рис. 3.9), принято называть треугольником напряжений.

Проекцию вектора напряжения на направление вектора тока называют активной составляющей напряжения и обозначают . Проекцию вектора напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока, называют реактивной составляющей напряжения и обозначают .

На векторной диаграмме рис. 3.9 видно:

В соответствии с тремя возможными вариантами соотношения между сопротивлениями реактивных элементов (X_L>X_C, X_L = X_C , X_L<X_C) и соответствующими им напряжениями (U_L>U_C, U_L = U_C , U_L<U_C) можно построить три векторные диаграммы для каждого из случаев (рис. 3.10, а, б, в). Угол φ положителен при отстающем токе (рис. 3.10, а) и отрицателен при опережающем токе (рис. 3.10, в).

При неизменной частоте источника питания цепь рис. 3.8 можно представить одной из эквивалентных схем, представленных на рис. 3.10: а - при X_L>X_C как последовательное соединение активного и индуктивного сопротивлений (R и X_L´=X_L-X_C); б - при X_L=X_C как активное сопротивление R (резонанс напряжений); в - при X_L<X_C как последовательное соединение активного и емкостного сопротивлений (R и X_С´=X_L-X_C).

Необходимо заметить, что напряжения на L и С - элементах находятся в противофазе, вследствие чего в цепи переменного тока с последовательным соединением элементов могут создаваться условия, невозможные для цепей постоянного тока - когда напряжения на отдельных участках цепи значительно превышают напряжение на входе.

Рассмотрим треугольник напряжений, в котором каждое из напряжений записано согласно закону Ома в комплексной форме (рис. 3.11, а). При делении каждой стороны этого треугольника напряжений на комплексную величину тока получим треугольник, подобный исходному (рис. 3.11, б). Этот треугольник называют треугольником сопротивлений. Его можно получить, построив на комплексной плоскости диаграмму, соответствующую выражению комплексного сопротивления цепи состоящей из последовательного соединения элементов R, L, C: