Литература

1. А. Н. Тихонов и А. А. Самарски й, Уравнения математиче­ской физики, «Наука», М., 1966.

2. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, изд. 2-е, «Наука», М., 1971.

3. 3 Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш и и, Механика сплошных сред, ГИТТЛ, М, 1954.

4. Г. Л а м б, Гидродинамика. ГИТТЛ, М. — Л., 1947.

5. Л. А. Вулис, В. П. Каш кар о в, Теория струй вязкой жидко­сти, «Наука», М., 1965.

6. А. А. Л у г о в ц о в, Б. А. Л у г о в ц о в, В. Ф. Тарасов, О дви­жении турбулентного вихревого кольца, В сб «Динамика сплош­ной среды», вып. III, Новосибирск, 1969.

7. Б. А. Л у г о в ц о в, О движении турбулентного вихревого кольца и переносе им пассивной примеси, В сб. «Некоторые проблемы ма­тематики и механики» (к семидесятилетию М. А. Лаврентьева), «Наука», Л., 1970.

8. А. Т. Онуфриев, Теория движения кольца под действием силы тяжести. Подъем облака атомного взрыва, ПМТФ, 2 (1967).

9. А. А. Л у г о в ц о в, Б. А. Л у г о в ц о в, Пример обтекания тела с движущейся границей, В сб. «Динамика сплошной среды», вып.

УШ, Новосибирск, 1971.

§ 38. Неустойчивость стержней Статическая и динамическая потери устойчивости.

Простейший эксперимент, поясняющий различие между этими двумя формами потери устойчивости стержней, можно поставить так. Пусть стержень (т. е. упругая тонкая полоса) расположен вертикально, его нижний конец закреплен в твердом основании, а сверху на него действует не слишком большая вертикальная сила F(рис. 135). Если стержень немного отклонить от верти­кального положения и затем отпустить, то он будет совершать затухающие коле­бания вокруг положения равновесия и через некоторое время вернется в это положение. Мы имеем случай устойчиво­го равновесия.

Будем теперь постепенно увеличивать силу F. С ростом F частота колебаний уменьшается, и при некотором значе­нии F = F_кр частота обратится в нуль — стержень будет находиться в состоя­нии безразличного равновесия. При дальнейшем увеличении силы F равно­весие становится неустойчивым: после любых отклонений стержень изгибается и не возвращается в вертикальное поло­жение

Величина критической силы F_кр, при которой равно­весие перестает быть устойчивым, зависит от формы, размеров и упругих свойств стержня, а также от усло­вий его закрепления (граничных условий). Описанный выше процесс потери устойчивости, при котором вели­чина нагрузки постепенно увеличивается до тех пор, пока она не достигнет критического значения, называется статической потерей устойчивости.

Иначе ставится эксперимент по динамической потере устойчивости. Здесь в некоторый момент времени стер­жень немного изгибается, и к нему сразу приклады­вается вертикальная сила, величина которой превышает критическую. Оказывается, что в этой постановке по­теря устойчивости происходит иначе, чем при статиче­ском нагружении. Ниже мы рассмотрим это различие подробнее.

В механике упругих тел большинство изученных за­дач относится к случаю статической устойчивости. Наи­более классическая из таких задач была решена Л. Эйлером еще в 1744 году.

Задача Эйлера. Пусть концы стержня закреплены шарнирно, причем нижний шарнир неподвижен, а верх­ний может перемещаться вертикально; к верхнему концу прикладывается вертикаль­ная сила F (рис. 136). Предположим, что сечения стержня одинаковы, длина его рав­на l, момент инерции J и модуль Юнга Е.

При равновесии в каждом сечении стержня изгибающий момент упругих сил должен равняться моменту силы F отно­сительно середины изогнутого стержня. Мо­мент упругих сил, как известно, пропорцио­нален кривизне стержня k(х) в рассматри­ваемом сечении и равен ± EJk, а момент силы F в этом сечении равен ± Fу.

Задачу будем решать в линейном приближении, предполагая, что прогибы стержня малы. Тогда кривизна , и мы полу­чаем уравнение равновесия в виде

(знак выбран с учетом того, что у" > 0 при « y<0 и наоборот).

Общее решение уравнения (1) имеет вид

где A и В — произвольные постоянные, а

Условие шарнирного закрепления концов приводит к граничным условиям

(4)

из которых следует, что В = 0 и

Если F < , то из (5) следует что A = 0, т.е. при этом условии возможно лишь тривиальное решение Если же F , то при условии , которое переписывается в виде

(п — произвольное целое число), кроме тривиального, возможны еще решения вида

Мы получаем спектр собственных значений (6) вели­чины F, каждому из которых соответствует искривлен­ная равновесная форма стержня (7). Критической силой естественно считать ту, при которой перестает быть ус­тойчивой первоначальная прямолинейная форма стерж­ня. Очевидно, эта сила соответствует значению п=1 и равна

она называется эйлеровой силой. При медленном возра­стании нагрузки F потеря устойчивости происходит при этом значении . Стержень при этом изогнется в форме одной полуволны синусоиды, и если произойдет излом, то стержень распадется на два куска.

Отметим, что величина А амплитуды прогиба стерж­ня в приведенном выше решении задачи Эйлера никак не определяется и теоретически может быть сколь угод­но большой. Этот противоречащий действительности вывод является следствием линеаризации задачи. На самом деле при больших прогибах перестает быть обо­снованным приближенное выражение для кривизны, ко­торым мы пользовались при выводе уравнения (1). В этом случае надо использовать точное выражение , и задача становится нелинейной. Исследование устойчивости в нелинейной постановке также возможно, оно дает и конкретные результаты, но основ­ные выводы остаются примерно теми же, что и в линейной постановке. На конгрессе механиков в Калифорнии (1968 г.) этим проблемам был посвящен обзорный доклад французского ученого Л. Готье).

Динамическая постановка. При изучении действия взрыва на стержни и оболочки были обнаружены формы потери устойчивости, которые не укладываются в разобранную статическую схему .Представим себе следующий эксперимент.

Пусть имеется стержень, расположенный вертикаль­но и закрепленный так же, как в предыдущей задаче. Мы предположим, что разрушение стержня наступает при малых деформациях, когда еще применима линей­ная теория. Пусть сверху к стержню мгновенно при­лагается вертикальная сила F величина которой в не­сколько раз превышает Эйлерову силу . Нужно выяснить, как будет происходить потеря устойчивости стержня и его разрушение.

Как мы видели выше, в схеме статического нагру­жения стержень разламывается на два куска. Опыт по­казывает, что в принятых здесь условиях стержень раз­ламывается на несколько кусков, число которых зависит от отношения . Нашей задачей является выяснение движения стержня в начальный отрезок времени и опре­деление числа кусков, па которые он разламывается.

Как известно, уравнение малых движений стержня описывается дифференциальным уравнением

(9)

где — плотность материала и S — площадь попереч­ного сечения стержня; функция f определяется началь­ным искривлением, поперечной нагрузкой и т. п.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее гранич­ным условиям (4), к которым теперь следует добавить у"=0 при х=0,l (в статической схеме эти условия выполнялись автоматически), естественно искать в виде ряда Фурье по синусам:

Если правая часть уравнения (9) также представлена рядом Фурье ,то при подстановке (10) в это уравнение мы получим систему обыкновен­ных уравнений

где

Величина q_k представляет собой амплитуду той гармо­ники

которой соответствует изгиб стержня по синусоиде с k полуволнами.

Уравнение (11) показывает, что при закон изменения - синусоидальный, поэтому соответ­ствующие гармоники имеют ограниченную ампли­туду и не дают потери устойчивости. При , на­против, решения уравнения (11) имеют непериодиче­ский характер:

где

(мы считаем, что = 0 (0) == 0). С течением вре­мени амплитуды соответствующих гармоник неограни­ченно возрастают, причем быстрее всего возрастает амплитуда той гармоники, для которой величина — наибольшая. Из (15) видно, что максимум дости­гается при , так что наибольшую неустойчи­вость дает синусоидальная форма стержня с числом по­луволн, равным ближайшему целому k числу

Естественно ожидать, что если стержень не выдер­жит нагрузки и сломается, то число изломов будет равно именно этому числу.

К тому же выводу можно прийти и из энергетиче­ских соображений. Существует принцип, согласно кото­рому движение консервативной механической системы осуществляется так, чтобы в каждый данный момент ее полная потенциальная энергия была возможно меньшей. (Скажем, в примере, которым начиналась глава, шарик скатывается по желобку на сферической поверхности, если такой желобок есть.)

Подсчитаем полную потенциальную энергию стержня в нашей задаче. Она составляется из энергии упругого изгиба стержня

П₁=

и потенциала внешних сил П₂ (продольным сжатием стержня и его начальным изгибом мы пренебрегаем). Потенциал П₂ равен работе силы F с противоположным знаком: П₂ = —F l, где l — смещение верхнего конца стержня по вертикали. Предполагая стержень нерастя­жимым и обозначая через l₀ его длину, а через l — проекцию его верхнего конца на ось х, будем иметь

Так как = l₀ — l, то мы получим

П₂=

а значит,

П = П₁ + П₂ = (17)

Отсюда с учетом формул (12) получаем выражение полной потенциальной енергии для гармоники (13) :

П = (18)

Мы видим, что минимальное значение П достигается для той гармоники у_k, номер которой равен ближай­шему целому к числу (16), т. е. той самой гармонике, которая дает наибольшую неустойчивость.

Таким образом, мы двумя способами пришли к од­ному и тому же выводу: когда к стержню мгновенно прикладывается нагрузка F в п раз превышающая кри­тическую эйлерову силу F_кр, то стержень изгибается

по синусоиде с числом полуволи, равным или ближайшему целому числу; если стержень при этом разрушается, то число изломов также оказывается равным

этом числу.

На рис. 137 приведены фотографии эксперимента, иллюстрирующего изгиб стержня при динамической нагрузке и его разрушение на несколько кусков ¹). Ко­нечно, на практике наш вывод осуществляется лишь в вероятностном смысле: при проведении большого числа опытов среднее число осколков близко к .

Интересно отметить, что аналогичный результат наблюдается при мгновенном нагружении тонкостенной рубки, когда эта трубка подвергается внешнему давле­нию. Так же, как в случае стержня, имеется критиче­ское давление F_кр такое, что если внешнее давление на трубку меньше критического, то трубка ус­тойчива; если сжать ее в пределах упруго­сти, то при снятии сжимающей силы она вернется в прежнее состояние. Если же дав­ление превысит критическое, то трубка по­теряет устойчивость в прежнем смысле.

Рис. 138.

Если нагрузка будет в п раз больше крити­ческой, то мы получим деформацию с коли­чеством волн порядка .

Наиболее яркий пример динамической неустойчивости дает следующий опыт. Если тонкостенную трубку с заделанными кон­цами погрузить в воду, а затем вблизи нижнего конца произвести взрыв, то труб­ка будет обжата так, что ее сечение будет волнистым с наибольшим количеством волн вблизи заряда (рис. 138).

Хотя за последние 20 лет проблема динамической устойчивости значительно продвинулась, все же здесь осталось еще много нерешенных задач: динамическая устойчивость труб при осевой нагрузке, динамическая неустойчивость сферических оболочек и многие другие.