§ 36. Перенос примесей

Турбулентная диффузия. Аналогичным образом мож­но изучить задачу о переносе турбулентным вихрем пас­сивной примеси, т. е. примеси, которая не оказывает влияния на его движение. Турбулентное перемешивание жидкости сопровождается переносом примесей в моляр­ных (макроскопических) объемах. Этот процесс в слу­чае свободной турбулентности (в отсутствии границ) можно описать введением специального «коэффициента турбулентной диффузии» , величина которого, как и величина коэффициента турбулентной вязкости , опре­деляется характерными масштабами движения (разме­ром и скоростью вихря). Из опытов с турбулентными струями известно [5], что коэффициент турбулентной диффузии с точностью до множителя порядка единицы совпадает с коэффициентом турбулентной вязкости:

для турбулентных струй

Уравнение, описывающее распределение примеси, концентрацию которой мы обозначим через С, имеет вид:

где D — молекулярный коэффициент диффузии (см. [5]).

Ясно, что на начальном участке движения вихря мо­лекулярным коэффициентом диффузии D можно прене­бречь по сравнению с турбулентным. Скорость V извест­на, если известно движение вихря.

Для уравнения (2) необходимо, вообще говоря, за­дать начальные условия, которые сводятся к заданию начального распределения концентрации, зависящего от способа заполнения вихря примесями. Эксперимент, од­нако, показывает, что так же, как и распределение завихренности, распределение концентрации примесей очень быстро приближается к некоторому распределению, не зависящему от начальных условий. При этом избыточные по отношению к предельному распределению количества примесей быстро теряются, а после этого потери примесей практически отсутствуют.

Автомодельная задача. Естественно предположить, что предельное распределение концентрации примесей является автомодельным [7]. Поставим следующую за­дачу (ограничиваясь плоским случаем). Пусть в момент времени концентрация С равна нулю всюду, кро­ме начала координат, где она бесконечно велика, так что

где — полное количество примеси (например, полное число частиц дыма). В этой же точке при нахо­дится и вихревой диполь с импульсом .

Ясно, что концентрация

а согласно (1) коэффициент турбулентной диффузии

так как по предположению примесь не оказывает влия­ния на движение жидкости.

В силу линейности уравнения (2) и нормировки (3) ясно, что С пропорциональна , и из анализа размер­ностей следует, что функции (4) и (5) имеют вид

Подставляя это в (2), получаем уравнение для с

причем нас интересуют его решения, стремящиеся к нулю при и удовлетворяющие условию нормировки

Интересно отметить, что эта мощность не зависит от поперечных размеров обтекаемого тела (конечно, если форма этого тела получается описанным выше спосо­бом). Можно убедиться в том, что обтекание тела по рассмотренной схеме требует значительно меньшей мощ­ности, чем та, которая, например, затрачивается на об­текание плоской пластины сравнимых размеров (см.[3]).

Проделанный расчет справедлив для ламинарных течений. В действительности же, при достаточно боль­ших числах Рейнольдса, движение будет турбулентным, и необходимая мощность С} может увеличиться. Для вы­яснения фактической возможности снижения сопротив­ления за счет применения описанной схемы обтекания необходимы дальнейшие исследования.