2-й семестр / Лекция Криволинейные интегралы первого рода
.pdf
Тема 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекция 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
1. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода.
2. Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода.
3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
4. Приложения криволинейного интеграла первого рода.
1. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода.
Задача о массе материальной линии. Пусть вдоль некото-
рой гладкой кривой AB распределена масса с переменной плотностью ρ = ρ(x; y). Требуется определить массу m дуги AB .
Разобьем дугу AB точками A = M 0 < M1 <... < M n = B , на n частичных дуг l1 , l2 , ... , ln , длины которых равны ∆l1 , ∆l2 , ... ,
∆ln .
Рис.1.
Будем считать, что на каждой частичной дуге плотность постоянна и равна ρ(ξi ;ηi ), где Ci (ξi ;ηi ) – произвольная точка
частичной области. Тогда масса части li приблизительно равна
mi ≈ ρ(ξi ;ηi ) ∆li ,
а масса всей дуги AB
102
n |
n |
|
m ≈ ∑mi = ∑ρ(ξi ;ηi ) ∆li . |
(1) |
|
i=1 |
i=1 |
|
Обозначим λ = max ∆li . Сумма (1) тем точнее, чем меньше
1≤i≤n
длина каждой части l1 , l2 , ... , ln . Поэтому точным значением массы всей дуги AB можно считать
|
n |
m = lim |
∑ρ(ξi ;ηi ) ∆li . (2) |
λ→0 |
i=1 |
|
|
Задача о площади цилиндрической поверхности. Пусть в |
|
плоскости Oxy задана некоторая гладкая кривая AB , которая |
|
является областью определения некоторой функции z = f (x; y), причем M (x; y) f (M )≥ 0 . Тогда точки (x; y; f (M )) в совокуп-
ности представляют собой некоторую пространственную кривую. Требуется найти площадь цилиндрической поверхности, для которой AB – образующая, направляющие параллельны оси Oz , ограниченной сверху z = f (x; y), снизу кривой AB , с боков
прямыми.
|
|
|
|
|
|
Рис.2. |
|
|
|
|
|
Разобьем дугу |
AB точками A = M 0 < M1 <... < M n = B , на |
n |
|||
частичных дуг l1 , |
l2 , ... , ln , длины которых равны ∆l1 , ∆l2 , ... , |
||||
∆ln . Из каждой точки разбиения M 0 , M1 , ... , M n |
проведем пер- |
||||
пендикуляры к плоскости Oxy высотой f (M i ), |
i =1,2,..., n . |
В |
|||
результате вся цилиндрическая поверхность разобьется на |
n |
||||
полосок. На каждой частичной дуге li возьмем точку Ci (ξi ;ηi ). |
|||||
Каждую полоску заменим прямоугольником, у которого ∆li |
– |
||||
основание, f (ξi ;ηi ) – высота. Тогда площадь каждой полоски приблизительно будет равна
103
Si ≈ f (ξi ;ηi ) ∆li ,
а площадь всей цилиндрической поверхности
n |
n |
|
S ≈ ∑Si = ∑f (ξi ;ηi ) ∆li . |
(3) |
|
i=1 |
i=1 |
|
Обозначим λ = max ∆li . Сумма (3) тем точнее, чем меньше
1≤i≤n
длина каждой части l1 , l2 , ... , ln . Поэтому точным значением площади всей цилиндрической поверхности можно считать
|
n |
|
S = lim |
∑ f (ξi ;ηi ) ∆li . |
(4) |
λ→0 |
i=1 |
|
|
|
2. Определение и свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
Напоминание: Кривая, заданная уравнениями
x = x(t),
y = y(t),
где α ≤t ≤ β , называется гладкой, если функции x(t) и y(t) непрерывны и имеют непрерывные частные производные x'(t) и
y'(t), не обращающиеся одновременно в нуль, x'2 (t)+ y'2 (t)≠ 0 .
Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.
Рассмотрим на плоскости Oxy гладкую или кусочно-гладкую кривую AB , и предположим, что функция z = f (x; y) определе-
на и ограничена на кривой |
AB . Разобьем дугу |
AB точками |
A = M 0 < M1 <... < M n = B , на |
n частичных дуг |
l1 , l2 , ... , ln , |
длины которых равны ∆l1 , ∆l2 , ... , ∆ln . Выберем на каждой частичной дуге li , i =1,2,..., n точку Ci (ξi ;ηi ).
Рис.3.
104
Определение 1. Сумма
n |
|
S = ∑f (ξi ;ηi ;) ∆li |
(5) |
i=1 |
f (x; y), опреде- |
называется интегральной суммой для функции |
|
ленной на дуге AB . |
|
Обозначим λ = max ∆li |
|
1≤i≤n |
|
Определение 2. Криволинейным интегралом первого рода называется предел (если он существует) интегральной суммы (5) при λ →0 :
I= lim ∑f (ξi ;ηi ;) ∆li
λ→0 i=1n
Обозначается: ∫ f (x; y)dl .
AB
Подынтегральная функция f (x; y) называется интегрируе-
мой вдоль кривой AB , сама кривая AB – контуром интегри-
рования, A и B – начальной и конечной точками интегриро-
вания, dl – дифференциал дуги.
Теорема 1 (существование криволинейного интеграла 1-
го рода). Если функция f (x; y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл ∫ f (x; y)dl суще-
AB
ствует, и его величина не зависит от способа разбиения кривой на части, и выбора точек в них.
Без доказательства.
Криволинейный интеграла 1-го рода обладает следующими
свойствами.
1. ∫dl = L , где L – длина дуги AB .
AB
2 (линейность). Если α и β — произвольные постоянные числа, функции f (x; y) и g(x; y) интегрируемы на дуге AB , то функция α f (x; y)+ β g(x; y) тоже интегрируема на дуге AB и справедливо равенство
105
∫(αf (x; y)+ βg(x; y))dl =α ∫ f (x; y)dl + β ∫g(x; y)dl .
AB |
|
AB |
AB |
3 (аддитивность). Если дуга |
AB состоит из двух частей AC |
||
и CB , AB = AC CB , имеющих одну общую точку, на каждой |
|||
из которых f (x; y) |
интегрируема, то функция |
f (x; y) также ин- |
|
тегрируема на дуге AB и справедлива формула |
|
||
∫ f (x; y)dl = ∫ f (x; y)dl + ∫ f (x; y)dl . |
|||
AB |
AC |
CB |
|
4 (оценка интеграла). Если на дуге AB имеет место неравенство f (x; y) ≤ M , то
∫ f (x; y)dl ≤ M L ,
AB
где L – длина дуги AB .
5 (монотонность.) Если для точек кривой AB выполнено неравенство f (x; y)≥ g(x; y),
∫ f (x; y)dl ≥ ∫g(x; y)dl .
AB |
AB |
6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода дуги AB , т.е.
∫ f (x; y)dl = ∫ f (x; y)dl .
AB |
BA |
3.Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводит-
ся к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое представление кривой интегрирования.
Пусть плоская кривая AB задана параметрическими уравнениями
где x(t) и y(t) – непрерывно дифференцированные функции па-
раметра t , причём точке A соответствует t =α , точке B – значение t = β .
Известно, что переменная длина дуги l =l(t), отсчитываемая
от начала кривой AB , является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и
dl |
= |
dx 2 |
dy |
2 |
dt |
|
+ . |
||
|
dt |
dt |
|
|
При этом дифференциал длины дуги равен: dl = (x'(t))2 +(y'(t))2 dt
Тогда криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x; y)dl = ∫ f (x(t); y(t)) x'2 (t)+ y'2 (t)dt . |
|
|||||
|
|
AB |
α |
|
|
|
|
|
Пример. |
Вычислить |
интеграл |
∫y2dl , |
где |
||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
x = a cost, y = a sin t, 0 |
≤t ≤ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
AB = (x; y) |
|
2 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Подставляя вместо x и y |
их параметрические |
|||||||||||||
представления, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y2 = a2 sin 2 t , |
x' = −a sin t , y' = a cost , |
|
|
|
|
|
|
||||||
dl = |
x'2 + y'2 |
= a2 sin2 t + a2 cos2 t = a dt . |
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
π 2 2 |
|
2 |
|
a3 |
π 2 |
a2 |
sin 2t |
|
π 2 |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
∫y |
|
dl = |
∫a |
sin |
|
t a dt = |
|
∫(1 −cos 2t)dt = |
|
t − |
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||
AB |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=a3π . 4
Полярное представление кривой интегрирования. Пусть кривая AB задана в полярных координатах уравнением
r= r(ϕ), α ≤ϕ ≤ β ,
иr(ϕ) имеет непрерывную производную на [α; β].
Декартовы и полярные координаты связаны между собой соотношениями
106 |
107 |
x = r(ϕ)cosϕ, ] y = r(ϕ)sinϕ , ϕ [α; β .
Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой и для вычисления дифференциала дуги можно
применить формулу dl = (xt′)2 +(yt′)2 dt . Найдем производные от x и y по параметру ϕ :
xϕ′ = r′cosϕ −rsinϕ, yϕ′ = r′sinϕ + rcosϕ.
Отсюда (xϕ′ )2 +(yϕ′ )2 = r 2 +(r′)2
Следовательно, |
dl = |
r 2 +(r′)2 dϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда существуют интеграл |
∫ f (x; y)dl |
и имеет место равен- |
||||||||||||||
ство |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x; y)dl = ∫ f (r |
(ϕ)cosϕ;r(ϕ)sinϕ) |
r 2 (ϕ)+ r'2 (ϕ)dϕ . |
||||||||||||||
AB |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл ∫(x + y)dl , где |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2ϕ, 0 ≤ϕ |
≤ |
π |
|
|||
AB = (x; y)x = r cosϕ, y = r sinϕ, r = |
|
2 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Подставляя вместо x |
|
и y |
их представления в |
||||||||||||
полярных координатах, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dl |
= |
sin 2ϕ + |
cos2 |
2ϕ |
dϕ = |
dϕ |
= |
dϕ |
. |
|
|
|||||
sin 2ϕ |
sin 2ϕ |
r |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
|
|
Тогда |
π |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫(x + y)dl = ∫2 (r sinϕ + r cosϕ) |
dϕ |
= |
|
∫2(sinϕ +cosϕ)dϕ = 2 . |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
AB |
0 |
|
|
|
|
|
r |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Явное представление кривой интегрирования. Пусть кривая
AB задана уравнением
y = y(x), a ≤ x ≤b ,
108
иy(x) имеет непрерывную производную на отрезке [a;b]. Рассматривая переменную x как параметр, дифференциал
дуги примет вид dl = 1 + y'2 (x)dx . Тогда существует интеграл
∫ f (x; y)dl и справедливо равенство
AB
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x; y)dl = ∫ f |
(x; y(x)) 1 + y'2 (x)dx . |
||||||||
|
|
|
AB |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл |
∫ydl , где |
|
|
|
|
|
||||||
AB ={(x; y) |
|
|
|
|
|
AB |
|
M (2;2)}. |
||||
|
y2 = 2x от точкиO(0;0) до точки |
|||||||||||
|
||||||||||||
Решение. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y = 2x , y'= |
1 |
, dl = 1 + |
1 |
dx . |
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
2x |
2x |
|
||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ydl = ∫ 2x |
1+ 2x dx = ∫ |
2x +1dx = 3 (2x +1)2 |
= |
|||||||||
AB |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
= 1 (5 |
5 −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода для функции 3-х переменных по пространственной дуге AB :
∫ f (x; y; z)dl .
AB
Для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода от функцииu = f (x; y; z) по пространственной кривой AB , задан-
ной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [α, β], справедлива формула:
|
β |
|
∫ f (x; y; z)dl = ∫ f (x(t); y(t); z(t)) x'2 |
(t)+ y'2 (t)+ z'2 (t)dt . |
|
AB |
α |
|
|
109 |
|
4.Приложения криволинейного интеграла первого рода.
1.Длина кривой. Длина L кривой AB плоской или пространственной линии вычисляется по формуле
L = ∫dl .
AB
2. Площадь цилиндрической поверхности. Пусть направ-
ляющей цилиндрической поверхности служит кривая AB , лежащая в плоскости Oxy , а образующая параллельна оси Oz .
Тогда площадь поверхности, задаваемой функцией z = f (x; y), находится по формуле
S = ∫ f (x; y)dl .
AB
3. Масса материальной кривой. Масса материальной кри-
вой AB переменной плотности ρ = ρ(x; y) определяется формулой
m = ∫ρ(x; y)dl .
AB
4. Статические моменты. Статические моменты материальной кривой AB относительно осей Ox и Oy определяются по
формулам |
|
M x = ∫yρ(x; y)dl , |
M y = ∫xρ(x; y)dl . |
AB |
AB |
5 .Координаты центра тяжести. Координаты центра тяже-
сти материальной кривой AB определяются по формулам
x0 = |
M y |
, |
y0 = |
M |
x |
. |
m |
|
|
||||
|
|
|
m |
|||
6. Моменты инерции. Для материальной кривой AB момен- |
||||||
ты инерции относительно осей Ox и Oy определяются по формулам
I x = ∫y2 ρ(x; y)dl , |
I y = ∫x2 ρ(x; y)dl , |
AB |
AB |
а момент инерции относительно начала координат O(0;0)
I0 = ∫(x2 + y2 )ρ(x; y)dl .
AB
Вопросы для самоконтроля
1.Сформулируйте задачу о массе плоской кривой?
2.Сформулируйте задачу о площади цилиндрической поверхности?
3.Какая кривая называется гладкой и кусочно-гладкой?
4.Что называется интегральной суммой для функции f (x; y),
определенной на дуге AB ?
5. Дайте определение криволинейного интеграла первого ро-
да.
6.Перечислите свойства криволинейного интеграла первого рода. Что общего и какие различия между свойствами криволинейного интеграла 1-го рода и определенного интеграла?
7.Как вычисляется криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного в случае задания плоской кривой 1) в параметрическом виде; 2) в полярных координатах; 3) в явном виде?
8.Какие геометрические и физические приложения криволинейного интеграла первого рода?
110 |
111 |