2-й семестр / Лекция 13

Криволинейные интегралы

1. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L. Рассмотрим непрерывную функцию ( , ), определенную в точках этой кривой.

Тогда существует ∫ ( , ) .

Он обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла, но есть отличие:

если A – начальная и B – конечная точки дуги, то

∫ ( , ) = ∫ ( , ) , то есть криволинейный интеграл I рода не зависит от направления интегрирования.

Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграл:

1.Если кривая интегрирования задана в явном виде: { = ( ) , то

≤ ≤

∫ ( , ) = ∫ ( , ( ))√1 + ( ′ )2

выражение = √1 + ( ′ )2 называется дифференциалом длины дуги.

= ( )

2.Если кривая интегрирования задана параметрически: { = ( ) , то:

≤ ≤

∫ ( , ) = ∫ ( ( ), ( ))√( ′ )2 + ( ′ )2

= √( ′ )2 + ( ′ )2

= ( )

Вслучае пространственной кривой { = ( ), ≤ ≤

= ( )

2. ∫ √

L – часть параболы = 2 от точки A(0;0) до B(2;4).

1 3

Ответ: 12 (172 − 1).

3. ∫

L – отрезок прямой от точки A(1;0) до B(0;2).

Ответ: 25615 .

Поверхностные интегралы. Основные понятия

Пусть задана вектор-функция двух аргументов u,v, изменяющихся в некоторой области D(u,v):

При этом будем предполагать, что при разных значениях аргумента ( , ) ≠ ( 1, 1) и значения вектор-функции также различны:

̅( , ) ≠ ̅( 1, 1).

Вектор ̅( , ) откладывается от точки O (начало декартовой системы координат), т.е. является радиус-вектором точки ( , ). Геометрическое место всех точек ( , ) образует некоторую поверхность в пространстве.

При фиксированном v рассмотрим линию, заданную функцией

̅( , ) (линия u на рисунке). Через ̅ обозначим касательный вектор

к линии u в точке ( , ).

Аналогично ̅ – вектор, направленный по касательной к линии v в

точке ( , ).

Теорема. Касательные в точке M к всевозможным линиям, проведенным через эту точку на поверхности , располагаются в одной плоскости. Такая плоскость называется

касательной плоскостью к поверхности в точке M. Она

определяется векторами ̅ и ̅.

Определение 1. Прямая, проведенная через точку M перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке M. Вектор на этой прямой будем называть вектором нормали.

Определение 2. Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности (т.е. при движении по поверхности точки M).

Отметим, что это равносильно тому, что функция ̅( , ) дифференцируема и имеет непрерывные частные производные.

Если поверхность задана уравнением = ( , ) (точка (x,y) принадлежит области D), то она будет гладкой тогда и только тогда, когда функция ( , ) имеет непрерывные частные производные в области D.

Определение 3. Поверхность называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких частей, примыкающих друг к другу по гладким или кусочно-гладким линиям.

Гладкими поверхностями являются, например, плоскость, сфера, эллипсоид. Кусочно-гладкими – куб, конус.

Определение 4. Поверхность называется двусторонней, если какова бы ни была ее точка M и каков бы ни был замкнутый

контур C, проходящий через точку M и не пересекающий границы , после его обхода мы возвращаемся в точку M с исходным направлением нормали.

Определение 4. Поверхность называется односторонней, если на ней существует хотя бы один замкнутый контур, обходя который, мы придем в начальную точку с противоположным направлением нормали.

Примерами двусторонних поверхностей являются плоскость, сфера, эллипсоид, односторонней поверхности – лента Мебиуса.

Фиксировать определенную сторону гладкой поверхности – означает из двух возможных векторов нормали в каждой точке M выбрать такой, чтобы два выбранных вектора можно было бы перевести друг в друга непрерывным образом (при перемещении от одной точки поверхности к другой). Тем самым, выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках. Стороной поверхности будем называть совокупность точек поверхности с нормалями.

В случае незамкнутой двусторонней поверхности мы не будем заранее определять выбор той или другой стороны. Всякая замкнутая поверхность является, очевидно, двусторонней, и мы будем выбирать на ней внешнюю сторону, т.е. в каждой ее точке будем указывать внешнюю нормаль.

Поверхностные интегралы I типа (по площади поверхности)

Пусть задана некоторая гладкая поверхность и на ней функция f(M).

1). Разобьем на n частей 1, …

2). На каждой выберем точку Mk

3). Площадь обозначим ∆

4). Составим интегральную сумму ∑=1 ( )∆

5). Перейдем к пределу при стремлении к нулю максимального диаметра всех ячеек (диаметр ячейки – максимальное расстояние между ее двумя точками).

Определение. Поверхностным интегралом I типа от функции f(M) по поверхности называется предел интегральных сумм:

∑=1 ( )∆ , если предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек Mk, обозначается:

Свойства аддитивности и линейности, рассмотренные для криволинейных интегралов, справедливы и для поверхностного интеграла I типа.

При изменении ориентации поверхности знак поверхностного интеграла I типа не меняется.

Для поверхностного интеграла I типа также выполнены теоремы об оценке интеграла и о среднем значении.

Теорема существования. Если функция f(M) непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл I типа существует.

Замечание. Если функция f(M)=1, то получаем формулу для

вычисления площади поверхности : = .

Вычисление поверхностного интеграла I типа

Вычисление методом проектирования на координатные плоскости

Пусть гладкая поверхность взаимно однозначно проектируется на область D плоскости Oxy. Тогда, обозначив – угол между ̅ и ,

| | =

( ) = ( , , (, )) | |,

Где = ( , ) – уравнение поверхности ,

( , ) – непрерывно-дифференцируемая функция,

– направляющий косинус единичного вектора нормали к поверхности в точке ( , , (, )),

̅. ̅ = ∙ ̅+ ∙ ̅+ ∙

Запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке Mi: