2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 09
.pdf1
Семинар 9
Повторение и подготовка к экзамену по теме
Линейные операторы
Тестовые задания. Рекомендуемое время выполнения задания 30 минут
№1. Какие из данных отображений в пространстве 3 не являются линейными операторами?
|
); |
|
2) |
|
|
|
). |
|
3) |
). |
|
№2. Что является матрицей линейного оператора
) в 3 ?
1) |
2) |
3) |
№3. Является ли линейный оператор из задания 2 обратимым?
1) Да 2) Нет
№4. Какой из данных линейных операторов в является необратимым
1)Проекция на ось OY;
2)Гомотетия с коэффициентом k= -1.7
3)Отражение относительно плоскости YOZ
№5. У какого из перечисленных в № 4 линейных операторов ядро Ker
?
№6. Какой из данных линейных операторов в является оператором простого типа?
1) |
Поворот вокруг на |
; |
|
2) |
Поворот на |
против часовой стрелки; |
|
3) |
Поворот вокруг на |
; |
|
№7. Что является матрицей линейного оператора |
- отражение относитель- |
||
но плоскости YOZ? |
|
|
|
2
1) |
2) |
3) |
№8. Будет ли образ линейного оператора из задачи 7 совпадать с пространством
1) Да 2) Нет |
|
№9. В пространстве |
многочленов степени не выше 2 задан линейный опе- |
ратор |
. Найти матрицу линейного оператора в кано- |
ническом базисе пространства .
№10. Для линейного оператора из задачи 9 найти образ многочлена
. Записать ответ в координатах.
№11. Линейный оператор действующий в двухмерном пространстве задан
матрицей А= . Будет ли данный оператор обратим? Если да, то за-
писать матрицу обратного оператора.
№12. Какой вектор не будет собственным вектором линейного оператора из задачи 11?
1) |
3) |
2) |
4) |
N13. Будет ли линейный оператор из задачи 11 оператором простого типа? Если да, то выписать его матрицу в базисе из собственных векторов.
3
Контрольная работа (с последующей самопроверкой)
Вариант 1 |
|
1. В пространстве V 3 линейный оператор |
– гомотетия с коэффициентом |
к = - 4 |
|
1) Найти матрицу оператора A в базисе |
. |
2)Найти образ вектора
3)Найти ядро и образ оператора А.
4)Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.
5) Найти собственные значения и собственные векторы оператора .
2. |
В каноническом базисе пространства R 3 оператор |
действует по пра- |
|
вилу |
|
|
x = ( 4 |
. |
1) |
Показать линейность оператора . |
|
2) |
Найти матрицу оператора в каноническом базисе пространства. |
|
3) |
Найти ядро оператора . |
|
4)Найти образ вектора
x( 1,0,1).
5)Обратим ли оператор?
6) |
Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Яв- |
||
|
ляется ли оператор |
оператором простого типа? Если да, то указать |
|
|
базис из собственных векторов и матрицу оператора в этом базисе. |
||
3. |
Найти собственные значения и собственные векторы линейного опера- |
||
|
тора , заданного матрицей |
в каноническом базисе линейно- |
|
|
го пространства R 2 . Доказать, что |
- оператор простого типа и при- |
|
|
вести его матрицу к диагональному виду. Сделать проверку с помощью |
||
|
матрицы перехода. |
|
|
Вариант 2 |
|
|
1. |
В пространстве V 3 линейный оператор |
– проекция на ось ОZ. |
1) |
Найти матрицу оператора в базисе |
. |
2)Найти образ вектора
3)Найти ядро и образ оператора
4)Существует ли обратный оператор? Если да, то описать его действие.
5) Найти собственные значения и собственные векторы оператора .
|
|
|
4 |
|
2. В пространстве P 2 |
оператор |
действует по правилу p(t)= |
||
1) Показать, что линейный оператор в P 2 . |
||||
2) |
Найти матрицу оператора в каноническом базисе пространства. |
|||
3) |
Найти ядро и образ оператора . |
|
||
4) |
Обратим ли оператор? |
Если да, то указать явный вид обратного |
||
оператора. |
|
|
|
|
5) |
Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Яв- |
|||
ляется ли оператор |
оператором простого типа? Если да, то указать ба- |
|||
зис из собственных векторов и матрицу оператора в этом базисе. |
||||
3. |
Найти собственные значения и собственные векторы линейного опе- |
|||
ратора , заданного |
матрицей |
в каноническом базисе линей- |
||
ного пространства R 2 . Доказать, что |
- оператор простого типа и при- |
|||
вести его матрицу к диагональному виду. Сделать проверку с помощью матрицы перехода.