2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 05 Пастухова
.pdf
1
Занятие 5. Линейные операторы в пространстве геометрических векторов. Переход к другому базису.
Задача 1. |
|
Линейный оператор ̂ – проекция на плоскость XOZ в пространстве . |
|
|
3 |
̂ |
|
a) Найти матрицу линейного оператора в базисе { , , }.
b) Найти образ вектора = (1,2,3) c) Найти ядро и образ оператора ̂.
d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.
Решение. |
|
z |
|
k |
|
i j |
y |
x |
|
Подействуем линейным оператором на базисные векторы .
{ , , }
̂ = = (1,0,0),̂ = = (0,0,0),
̂ |
|
= (0,0,1). |
|
= 0 |
a) Запишем матрицу ̂. Вспомним, что координаты образов базисных векторов надо записать по столбцам:
1 |
0 |
0 |
А = (0 |
0 |
0). |
0 |
0 |
1 |
b) Найдите образ вектора = (1,2,3):
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
= ̂ => (0 |
0 |
0) (2) = (0). |
||
0 |
0 |
1 |
3 |
3 |
2
с) Из геометрических соображений видно, что под действием линейного
|
переходят все векторы, параллельные оси , следовательно, |
|||
оператора в 0 |
||||
̂ |
̂ |
|
̂ |
̂ |
Ker = { }, Im = { + } = 2 |
, Defect = 1, Rang = 2. |
|||
d) По всем трем критериям линейный оператор необратим:
̂ |
̂ |
|
1) det = 0; 2) Im ≠ 3 |
; 3) Ker ≠ {0}. |
|
Достаточно применить только один критерий
Задача 2. |
|
|
|
̂ |
0 |
против часовой стрелки пространстве |
|
A - поворот вокруг оси OZ на угол 90 |
|
||
3 |
|
|
|
|
|
̂ |
|
a) Найти матрицу линейного оператора в базисе { , , }.
b) Найти образ вектора = (1,2,3) c) Найти ядро и образ оператора ̂.
d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.
Решение:
z
k
i |
j |
y |
x
Подействуем линейным оператором на базисные векторы |
|
|
{ , , }. |
||
̂ = = (0, 1, 0) |
|
|
̂ = − =(-1, 0, 0) |
|
|
̂ |
|
|
|
= =(0, 0, 1) |
|
a) Запишем матрицу ̂. Вспомним, что координаты образов базисных векторов надо записать по столбцам.
|
|
3 |
0 |
−1 |
0 |
= (1 |
0 |
0) |
0 |
0 |
1 |
b) Найдем образ вектора = (1,2,3): |
|
|
|
|
0 |
−1 |
0 |
1 |
−2 |
= ̂ => (1 |
0 |
0) (2) = ( 1 ) |
||
0 |
0 |
1 |
3 |
3 |
с) Из геометрических соображений видно, что под действием линейного
|
|
̂ |
|
оператора в 0 |
переходит только 0, следовательно, |
Ker = {0}. Тогда образом |
|
̂ является все пространство 3.
Im ̂ = 3. Данные выводы подтверждаются тем факторм, что rang = 3.
d) По всем трем критериям линейный оператор обратим:
̂ |
̂ |
|
1) det ≠ 0; 2) Im = 3 |
; 3) Ker = {0}. |
|
Достаточно применить только один критерий.
̂−1– поворот вокруг оси на угол 900 по часовой стрелке.
Задача 3.
̂: 2 → 2 – оператор поворота на угол против часовой стрелки;
3
a) Найти матрицу линейного оператора ̂ в базисе { , }. b) Найти образ вектора = (1,2)
c) Найти ядро и образ оператора ̂.
d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.
y |
|
|
̂ |
j |
̂ |
|
sin |
|
cos |
̂ |
|
|
|
х |
-sin |
cos |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̂ = |
|
+ |
|
= ( |
1 |
, |
√3 |
) |
|
|
|
||||||
3 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
̂ = −sin |
|
+ |
|
|
= (- |
√3 |
, |
1 |
) |
||||||||
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
√3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
a) А=( 2 |
|
2 ) |
||||||||
|
√3 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
b) Найдите образ вектора = (1,2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
− |
|
|
|
|
− √3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) = |
|
2 |
|
|||||
= ̂ = 2 |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√3 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
√3 |
+ 1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|||||
( 2 |
|
|
2 |
|
|
) |
|
|||||||||||
с) Из геометрических соображений видно, что под действием линейного
|
|
̂ |
|
оператора в 0 |
переходит только 0, следовательно, |
Ker = {0}. Тогда образом |
|
̂ является все пространство 2.
Im ̂ = 2. Данные выводы подтверждаются тем факторм, что rang = 2.
d) По всем трем критериям линейный оператор обратим:
|
̂ |
|
|
̂ |
|
|
1) det ≠ 0; 2) Im = 2; 3) Ker = {0}. |
|
|||||
Достаточно применить только один критерий |
|
|||||
̂−1 |
|
|
|
|
|
|
|
– поворот вокруг на угол |
3 |
по часовой стрелке. |
|
||
|
|
|
|
|
||
Задача 4. В пространстве |
отражение ̂ задано формулой |
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
̂( ) = [ , ], (векторное произведение), где = (1,1,1) |
||||||
a) Доказать, что ̂- линейный оператор; |
|
|||||
|
|
|
|
|
̂ |
|
б) Найти матрицу линейного оператора в базисе { , , }.
с) Найти образ вектора = (1,2,3) d) Найти ядро и образ оператора ̂.
e) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.
Решение:
a) ̂( + ) = [ + , ]= [ , ]+ [ , ]= ̂( ) + ̂( )̂( ) =[ , ]= [ , ]= ̂( )
Свойства линейности выполняется, следовательно ̂ – линейный оператор.
|
|
5 |
|
|
|
б) ̂ = [ , ] = |1 |
0 |
0| = -j+k=(0, -1, 1) |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
̂ = [ , ] = |0 |
1 0|= i-k = (1, 0, -1) |
||
|
1 |
1 |
1 |
̂ |
|
|
|
|
0 1|= - i+j = (-1, 1, 0) |
||
= [ , ] = |0 |
|||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
−1 |
|
= (−1 |
0 |
1 ). |
|
1 |
−1 |
0 |
|
c) Найдем образ вектора = (1,2,3): |
|
|
|
|
0 |
1 |
−1 |
1 |
−1 |
= ̂ => (−1 |
0 |
1 ) (2) = ( 2 ) |
||
1 |
−1 |
0 |
3 |
−1 |
d) Ker ̂ = { } − векторы, коллинеарные , (следует из свойств векторного произведения)
Im ̂ − векторы, перпендикулярные (плоскость, для которой − нормаль)
Defect ̂ = 1, Rang ̂ = 2.
е) По всем трем критериям линейный оператор необратим:
|
|
̂ |
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) det = 0; 2) Im ≠ 3; |
3) Ker ≠ {0}. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Разбор задач типового расчета |
|
|
|
|
||||||
Задача 2.5. Линейный оператор ̂ в базисе |
{ |
, |
, } задан матрицей . Найти |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицу оператора в базисе { 1, 2 |
, 3} . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( 0 |
1 |
−2), |
= + + 2 , |
|
= 2 − , |
|
= − + + |
|||||
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
−1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
1) Запишем |
матрицу |
перехода от |
старого |
базиса |
{ |
, |
, |
} к новому |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
}. Для этого выпишем по столбцам координаты нового базиса в |
||||||||||||||
{ 1 |
, 2 |
, 3 |
|||||||||||||||
старом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
) |
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
|
= |
( |
|
= |
( |
|
|
( |
−1,1,1 |
) |
|
−1 |
1 ). |
|||||
1 |
|
|
1,1,2 , 2 |
|
2, −1,0 , 3 = |
|
: = (1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
2) Найдем матрицу, обратную к : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
−2 |
1 |
1 |
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
||
−1 = − ( 1 |
|
3 |
−2) = (−1 −3 |
2). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
−3 |
−2 |
−4 |
3 |
|
|
|
|
|
Сделаем проверку: |
∙ −1 |
= (единичная матрица). |
|
|
|
||||||||||||
3)Применим формулу преобразования матрицы линейного оператора при замене базиса: 2 = −1 1 (теорема 3), где 1 = .
1 |
|
|
2 |
−1 |
2 |
0 |
−1 |
1 |
2 |
−1 |
2= (−1 −3 |
2) ∙ ( 0 |
1 |
−2) ∙ (1 |
−1 1 ) |
||||||
−2 |
−4 |
3 |
−1 |
2 |
0 |
2 |
0 |
1 |
||
−7 |
|
6 |
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
= (11 |
|
−9 |
12). |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
−16 |
19 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−7 |
6 |
−8 |
|
|
|
|
|
Ответ: 2= (11 |
−9 |
12). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
15 |
−16 |
19 |
|
|
|
|
|
Домашнее задание :
1)Типовой расчет : задача 2.5;
2)Линейный оператор ̂ – проекция на ось OX в пространстве 3.
a) Найти матрицу линейного оператора ̂ в базисе .
{ , , }
b) Найти образ вектора = (1,2,3) c) Найти ядро и образ оператора ̂.
d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.
3) Линейный оператор ̂ – зеркальное отражение относительно плоскости XOZ в пространстве 3.
a) Найти матрицу линейного оператора ̂ в базисе .
{ , , }
7
b) Найти образ вектора = (1,2,3) c) Найти ядро и образ оператора ̂.
d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.
4) Линейный оператор ̂ – гомотетия с коэффициентом k=3, |
̂( ) = 3, в |
|
пространстве 3. |
|
|
̂ |
|
|
a) Найти матрицу линейного оператора в базисе { , , }. |
|
|
b) Найти образ вектора = (1,2,3) c) Найти ядро и образ оператора ̂.
d) Является ли оператор ̂ обратимым? Если да, описать его действие.