2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 14

Задания на повторение

1.

Найти длины элементов

p(t) t 1, q(t) 2t 1

евклидова пространства

1

1

( p, q)

p(t)q(t)dt . Найти угол

всех многочленов

P [t]

со скалярным произведением

1

между этими элементами.

2. Найти длины элементов

p(t) 1 t t 2 ,

q(t) 1 2t

евклидова простран-

ства

всех

многочленов

P2[t]

со

скалярным

произведением

( p, q) p( 1)q( 1) p(0)q(0) p(1)q(1) . Найти угол между этими элементами.

3. В базисе {e1,e2,e3}

пространства E3 скалярное произведение задано матрицей

3

1

2

Грама

Г

1

1

1

. Найти

длины базисных векторов и угол между ними. Найти

2

1

2

длины векторов x и y пространства E3 , если x e2 2e3 , y 2e1 e3

МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ ГРАМА - ШМИДТА

Определение 1. Два вектора x и y называются ортогональными, если их ска-

лярное произведение равно 0, т.е. (x, y) 0 .

Определение 2. Система векторов

x1, x2,..., xn называется ортогональной, ес-

ли все векторы системы попарно ортогональны, т.е.

(xi , x j ) 0 при i j

Определение 3. Вектор x

называется нормированным или единичным, если

x

1

Нахождение для данного вектора нормированного ему вектора называется нор-

мированием вектора.

Определение 4. Система векторов

x1, x2,..., xn называется ортонормирован-

ной, если все векторы этой системы попарно ортогональны и длина (норма) каждого

вектора системы равна единице, т.е.

1,

i j

(xi , x j )

i j

0,

3

k. Пусть уже найдены взаимно ортогональные векторы f1, f2,..., fk 1 . Вектор

fk

выберем таким образом, чтобы он был ортогонален каждому из векторов уже по-

строенной

системы

f1, f2,..., fk 1 .

В качестве

fk

возьмем

вектор

fk

ek k1 f1 k 2 f2

... k,k 1 fk 1. Рассуждая, как и ранее, получаем,

что век-

тор

fk 0 при любых значениях

k1, k 2 ,..., k,k 1 .

Из условий ортогональности

( fk , f j ) 0

находим последовательно

kj

( f j , ek )

( f j , ek )

, j 1,2,..., k 1.

( f j , f j )

f j

2

Продолжая

этот

процесс,

мы

построим новую

ортогональную

систему

f1, f2 ,..., fn .

Делением каждого элемента

fk

на его длину, получаем ортонормированную

систему векторов

h1

f1

, h2

f2

, …, hn

fn

.

f1

fn

f2

Пример 1. В пространстве R3 задан базис e1 (1, 1,1) ,

e2 (2, 3,4) ,

Подберем 21

таким образом, чтобы векторы f1

и

f2 были ортогональны:

( f1, f2 ) ( f1, e2 21 f1) 0 ( f , e ) ( f , f ) 0

1 2

21

1

1

e1

e1

21

( f1,e2 ) ( f1,e2 )

( f1, f1)

f

2

1

( f1, e2 ) = (e1, e2 ) 1 2 ( 1) ( 3) 1 4 9

9

3

21

3

f2 e2

3 f1

e2 3e1 (2; 3;4) 3(1; 1;1) ( 1;0;1)

3.

f3 e3 31 f1 32 f2 , где 31 , 32

- некоторые коэффициенты, подобран-

ные таким образом, чтобы векторы f3 и

f1 , f3

и f2 были ортогональны: ( f3, f1) 0

, ( f3, f2 ) 0

( f1, f3) ( f1, e3 31 f1 32 f2 ) 0

( f , e ) ( f , f )

( f , f

) 0

( f1, e3 )

( f1, e3 )

1

3

31

1

1

32

1

2

31

( f1, f1)

f

2

e1

e1

e1

0 т.к. f1 f 2

1

( f1, e3 ) = (e1,e3 ) 1 2 ( 1) 2 1 6 6

( f1, f1) = (e1,e1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 3

f1

3

6

2

31

3

( f2, f3) ( f2, e3 31 f1 32 f2 ) 0

( f2 , e3 ) 31

( f1, f2 ) 32 ( f2 , f2 )

0 32

( f2 , e3 )

( f2 , e3 )

2

( f2 , f2 )

f

2

0 т.к. f1 f 2

( f2 , e3) = ( f2 ,e3 ) ( 1) 2 0 2 1 6 4

( f2 , f2 ) ( 1) ( 1) 0 0 1 1 2

f2

2

4

2

32

2

f3 e3 2 f1 2 f2

(2;2;6) 2(1; 1;1) 2( 1;0;1) (2;4;2)

( f3, f3 ) 2 2 4 4 2 2 24

f3

2 6

f

1

1

1

h1

1

;

;

,

f1

3

3

3

f

2

1

1

h2

;0;

,

f2

2

2

f

3

1

2

1

h

;

;

3

f3

6

6

6

1

1

вид

Г

1

2

1. Пусть f

e ,

h

e1

e1

e

1

1

1

e1

1

1

2. f2 зададим, как

f2 e2 21 f1 ,

где 21 - некоторый коэффициент, подоб-

ранный таким образом, чтобы векторы f1 и

f2

были ортогональны:

( f1, f2 ) ( f1, e2

21 f1) 0 ( f , e ) ( f , f ) 0

1

2

21 1 1

e1

e1

21

( f1,e2 ) ( f1,e2 )

( f1, f1)

f

2

1

h

f2

f2

2

f2

( f2 ; f2 )

f

2

1 h

f2

(e e )

2

f2

1

2