2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 16
.pdf
Обобщение и систематизация материала по курсу
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Используя материалы лекции 15, выполнить по алгоритму следующее задание
Задание 1. Найти тип и каноническое уравнение кривой второго порядка.
Сделать чертеж. В работе указать ортонормированный базис из собственных векторов,
приводящий квадратичную часть, преобразования поворота и параллельного переноса.
координаты нового центра относительно старой системы координат, тип кривой и ее характеристики.
а) 5x2 5y2 6xy 20
2x 12
2 y 24 0 б) 5x2 5y2 6xy 20
2x 12
2 y 24 0 в) 9x2 4y2 12xy 24x 16 y 3 0
Задание |
2. В |
пространстве |
R3 {x (x1, x2 , x3 ), x R3} |
заданы |
линейные |
||||||
операторы |
ˆ |
|
x3 , x2 x1, x1 |
x3 ) , |
ˆ |
, x3 |
x2 ) . |
Найти и |
|||
Ax (x1 |
Bx (x2 x1,2x3 |
||||||||||
описать действие операторов. Обратим ли оператор?- обосновать |
|
|
|
||||||||
1) |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
A(2B A)x |
7) A(2A B)x |
|
|
|
|
||||||
|
ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
||
2) (B |
2A)Bx |
8) A( A 2B)x |
|
|
|
|
|||||
3) |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
A(B |
2A)x |
9) (2A B)Bx |
|
|
|
|
|||||
4) |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
(B |
A)2Ax |
10) (A |
2B)Bx |
|
|
|
|
||||
5) |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
A(B |
2A)x |
11) (B |
A)2Ax |
|
|
|
|
||||
6) |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
2B(A B)x |
12) (2B A)Ax |
|
|
|
|
||||||
Задание 3. Найти все значения параметра , при котором положительно определена следующая квадратичная форма. В ответе указать наименьшее целое значение , при котором положительно определена квадратичная форма
Q 2x12 2 x22 x32 2x1x2 2 x2 x3
Задание 4. Найти базис и размерность подпространства
L (a 2b,2a b, a 5b : a,b R) в R3 .
Задание 5. Какие из заданных систем векторов образуют базис в R3 . Найти
разложение вектора x = (-1, 0, 1) в этом базисе.
а) S {s1 (1,2,7), s2 (3, 1,7),s3 ( 1,3,3)}
б) T {t1 (1, 3,2),t2 (0,2, 1),t3 (4, 1,2)}
Задание 6. При каком значении параметра |
система векторов |
|
||||||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
не |
является |
базисом |
в |
линейном |
пространстве |
||||||
геометрических векторов V3 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задание |
7. |
Линейный |
оператор, действующий в трехмерном пространстве, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задан своей матрицей |
A |
0 |
5 |
|
|
в некотором базисе. При каком значении |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
параметра b он будет необратим? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задание 8. |
Для данного линейного оператора |
|
x-2)pʹʹ(x), |
действующего в |
||||||||||||||||
пространстве |
|
многочленов |
степени |
не |
выше 2, выбрать верную |
матрицу |
в |
|||||||||||||
каноническом базисе |
|
|
и верные утверждения: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) A |
0 |
0 |
|
2 |
Ker |
|
|
|
|
; оператор обратим |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) A |
0 |
0 |
|
2 |
|
; Ker |
|
|
|
|
; с |
оператор необратимый |
|
|||||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
A |
0 |
|
0 |
0 |
|
; Ker |
|
|
|
; с |
|
;оператор обратим |
|
|
|
||||
|
|
4 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) A |
0 |
0 |
0 |
Ker |
|
|
|
|
; с |
|
; оператор необратимый |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание |
9. |
|
Какие |
из векторов, |
|
приведенных |
ниже, |
будyт являться |
||||||||||||
собственным вектором линейного оператора, заданного матрицей |
|
? |
|
|||||||||||||||||
а) |
б) |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
е) |
|
|
|
|
|
|
Задание 10. Пусть задан линейный оператор |
ˆ |
|
|
A , действующий в каноническом |
|||
|
ˆ |
|
|
базисе {i , j, k} пространства геометрических |
композиция |
||
векторов V3 . A - |
|||
отражения относительно плоскости xOy и поворота вокруг оси Oy на |
90 против |
||
часовой стрелки. |
|
|
|
1. Найти матрицу оператора.
|
( 2; 1;3) . |
2. Найти образ вектора x |
3.Найти ядро и образ оператора.
4.Существует ли обратный оператор. Если да, то описать его действие.
5.Найти собственные значения и собственные векторы оператора.