Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1260 вузов, 4601 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
МИРЭА - Российский технологический университет
Предмет:
Линейная алгебра
Файл:

2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 12

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
02.06.2020
Размер:
728.23 Кб
Скачать
☆

1

Семинар по теме Положительно и отрицательно определенные

квадратичные формы

1.Изучить материал лекции по теме

2.Рассмотреть примеры, приведенные ниже.

3.Выполнить самостоятельные задания.

4.Выполнить задачу 2.12 из типового расчета

Определение 1. Квадратичная форма

f (x1,..., xn ) называется положительно

определенной, если для любой совокупности значений пере-

менных

x1 ,..., xn

значение

самой

формы

на

них

f (x1,..., xn ) 0

 

 

 

 

 

Определение 2. Квадратичная форма

f (x1,..., xn ) называется отрицательно

определенной, если для любой совокупности значений пере-

менных

x1 ,..., xn

значение

самой

формы

на

них

f (x1,..., xn ) 0

Положительно и отрицательно определенные формы называются знакоопреде-

ленными.

Примеры. Квадратичные формы от трех переменных.

 

x2

x2

положительно определена.

1. (x) x2

1

2

3

 

2.

 

x2

неотрицательно определена, вырожденная.

(x) x2

 

1

2

 

 

 

 

x2

x2

знакопеременная.

3. (x) x2

 

1

2

3

 

4.(x) x1x2 знакопеременная, вырожденная .

Исследование квадратичной формы на знакоопределенность будем проводить,

разными способами. Напомним теоремы:

Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отри-

цательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ха-

рактеристические числа ее матрицы били положительны (отри-

цательны).

2

Теорема 2. Критерий знакоопределенности

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определен-

ной необходимо и достаточно чтобы все ее коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были отрицательны.

Теорема 3. Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы четного порядка были положительны, а нечетного – отри-

цательны.

Критерий Сильвестра для трехмерного пространства схематично можно представить следующим образом:

1)

квадратичная форма положительно определена;

2) квадратичная форма отрицательно определена;

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квад-

ратов одного знака, называются иногда полуопределенными. Квадратичные формы,

нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных, называются неопределенными или формами общего вида.

Пример 1. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

1)Приведя ее к каноническому виду;

2)Найдя собственные числа;

3)С помощью критерия Сильвестра.

Решение.

3

1). Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

Здесь удобно начать собирать слагаемые с x2 :

f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

(4x22 4x1x2 4x2 x3 x12 x32 2x1x3 ) x12 x32 2x1x3 3x12 5x32

(x1 2x2 x3 )2 2x12 2x1x3 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x12 x1x3 14 x32 ) 12 x32 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x1 12 x3 )2 72 x32

Перейдем от неизвестных x1 , x2 , x3 к неизвестным y1 , y2 , y3 по формулам:

y

 

x

2x

 

x

 

1

1

 

2

 

3

 

 

 

x1

 

 

 

1

 

y2

 

 

x3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y

3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Получим

канонический вид

 

квадратичной формы:

Q y2

2 y2

3,5y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

r ( f ) 3 Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 2.

 

 

 

2). Найдем все характеристические числа матрицы квадратичной формы. Мат-

рица квадратичной формы имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим характеристическое уравнение:

 

A E

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A E

 

 

 

2

4

2

(3 )(4 )(5 ) 4(3 ) 4(5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 )(4 )(5 ) 4((3 ) (5 )) (3 )(4 )(5 ) 4(8 2 ) (3 )(4 )(5 ) 8(4 ) (4 )((3 )(5 ) 8)

(4 )( 7)( 1)

1

4

 

 

 

 

- характеристические числа матрицы квадратичной формы. Все i

 

7 7

0 .

 

1

 

 

1

 

 

Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 1.

4

Чтобы установить, является ли квадратичная форма положительно (отрицатель-

но) определенной, не обязательно приводить ее к каноническому виду или разыскивать характеристические числа ее матрицы.

3) способ (по критерию Сильвестра)

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

2

0

 

 

M 2

 

 

8 0 , M3

3

 

 

 

 

M1 3 0 ,

 

 

2 4

2

28 0

 

 

 

2

4

 

 

0

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определенная

Пример 2. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность двумя способами: с помощью приведения к каноническому виду и с помощью критерия Сильвестра.

2.1. f (x) x12 15x22 4x1x2 2x1x3 6x2 x3 =…

= (x

2x

2

x )2 ((x2

10x

x 25x2 ) 25x2 ) 19x2

... y2

y2

6y2

 

2

 

 

3

 

3

 

2

3

2

2

2

1

2

3

y

x

2x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 x3

5x2

 

квадратичная форма – знакопеременная.

 

 

 

 

y3

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерий Сильвестра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0, M 2

 

 

 

 

 

 

A

2

 

15

3

, M1

19 0

 

знакопеременная.

 

 

 

1

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.

f (x) x2 4x2

4x2 8x2

8x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

4

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

M

 

0, M

 

4 0, M 16 0, M

 

128 0, положительно оп-

0

0

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

0

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ределена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.

f (x) 9x2

6x2

6x2 12x x

10x x

12x x ...=

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

3

 

 

1

2

 

 

 

1

3

2

3

 

 

f (x) 6(x

 

x x )2

3(x

1

x )2

 

 

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

3

 

 

1

 

3

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

Критерий Сильвестра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

6

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

6

 

 

 

0, M 2

0, M 3

... 6 0. знакопеременная квадратич-

 

6

 

 

6

M1

 

 

5

 

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ная форма.

5

Выполнить самостоятельно: Исследовать на знакоопределенность квадратич-

ную форму f:

1) Приведя ее к каноническому виду;

3) С помощью критерия Сильвестра.

2.f 3x12 4x22 x32 6x1x2 2x1x3 2x2x3

3.f 3x12 2x22 4x32 4x1x2 4x1x3 4x2x3

4.f 2x12 x22 2x32 2x1x2 4x1x3 2x2x3

Пример 3. Найти все значения параметра , при котором положительно определены следующая квадратичная форма.

Q 2x12 x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3

Решение. Составим матрицу квадратичной формы.

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

 

 

 

 

 

2 1

 

 

1

1

 

 

M1 2 0 , M 2

 

 

1 0 , M3

2

 

 

 

 

 

1

1 1

 

1

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необходимо чтобы все главные миноры были положительными. Для первых двух это усло-

вие выполняется. Минор M3 0 при 1.

Итак, форма является положительно определенной при значениях параметра

1.

Пример 4. Найти все значения параметра , при котором отрицательно определены следующие квадратичные формы.

Q x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3

Решение. Составим матрицу квадратичной формы.

1

2

1

 

 

 

 

 

A

2

 

1

 

 

1

1

 

 

 

3

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

 

M 2

 

1

2

 

4 , M3

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1 1 0 ,

 

 

 

2

 

1

4 7

 

 

 

2

 

 

 

 

1

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Чтобы форма была отрицательно определенной, по критерию Сильвестра, необходимо чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательным, а миноры четного порядка - положительными. Минор M1 0 . Рассмотрим, при каких будет по-

ложительным минор M 2 и отрицательным минор M3 :

4 0

4

 

0

 

4 7

1,75

Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является отрицательно определенной.

Обобщим рассмотренные примеры.

Выполнить самостоятельно. Выписать условия положительной и отрицательной определенности следующих квадратичных форм

5.f (x) x12 4x1x2 2x1x3 ( 3)x22 4x2x3 x32 .

6.f (x) x12 4x1x2 x22 4x2x3 x32 2x1x3

7.f (x) 5x12 4x1x2 2x1x3 x22 2x2x3 x32

8.f (x) x12 2 x1x2 10x1x3 4x22 6x2x3 x32

9.f (x) x12 2 x1x2 2x1x3 x22 4x2x3 5x32

Пример 10. Исследовать квадратичную форму на знакоопреленность в зависи-

мости от параметра а, используя критерий Сильвестра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1

a 1

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

a 1 6a

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1 a 1 0, a 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

2

 

 

a 1

 

a 1

 

6a2

6a (a2 2a 1) 5a2 4a 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1

 

6a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2

0при

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1 a 1

1

 

 

 

 

a 1 a 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 3

 

A

 

 

a 1

 

 

 

 

 

6a

1

 

 

 

 

0

5a

0

 

... a(5a 1) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

0при

 

 

1

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, квадратичная форма положительно определена при a 15 .

Дальше исследовать самостоятельно.

7

Пример 11. Привести квадратичную форму f(x) к каноническому виду

Исследовать квадратичную форма на знакоопределённость в зави-

симости от значений параметра a. Определить тип поверхности,

заданной уравнением

в зависимости от значений параметра a.

Решение. Приведём квадратичную форму к каноническому виду методом Ла-

гранжа

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

3

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, квадратичная форма знакоопределена, а именно положительно определена, при

Значения характеристик квадратичной формы позволяют определить тип по-

верхности, задаваемой в некотором базисе уравнением

I. Если , то уравнение поверхности содержит три квадрата пере-

менных, один из них с положительным коэффициентом и два – с отрицательными. В

пространстве такое уравнение определяет двуполостный гиперболоид

II. Если , уравнение примет вид , что соответствует цилинд-

рической поверхности с направляющей – гиперболой, то есть гиперболический ци-

линдр второго порядка.

III. Если , то уравнение будет содержать три квадрата, два с положи-

тельным коэффициентом, один с отрицательным. В пространстве такое уравнение оп-

ределяет однополостный гиперболоид.

 

 

8

IV. Если

 

 

, то уравнение – это сумма квадратов, равная единице, и опреде-

 

 

ляет в пространстве эллиптическую цилиндрическую поверхность.

V. При

 

 

 

данное уравнение – сумма квадратов, равная единице – это

 

 

 

эллипсоид.

 

 

 

Пример 12. Исследовать на экстремум функцию f x2 y2 z2 xy 2z 3x

Решение. Необходимым условием экстремума функции является равенство ну-

лю первых частных производных. Точки M0 (x, y, z) , являющиеся решением системы

fx

f

y

f

z

0

0

0

называются стационарными точками функции f.

Если квадратичная форма, составленная из вторых производных функции, вы-

численных в стационарной точке M0 (x, y, z) положительно определена, то эта функ-

ция достигает в этой точке минимума, если отрицательно определена, то – максимума.

Если квадратичная форма является неопределенной, то экстремума в этой точке нет.

Найдем сначала стационарные точки, решив систему:

 

f

2x y 3 0

 

 

 

2x y 3

 

 

x

 

 

 

f

2 y x 0

 

 

 

y

x 2 y 0

. Решением системы является точка

 

 

 

 

f

 

2z 2

 

2z 2 0

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

M0(2, 1, 1) - стационарная точка.

Запишем второй дифференциал в точке:

2 f

2 f

x2

2

2 f

x y 2

2 f

x z

2 f

y2

2

2 f

y z

2 f

z2

2 x

x y

x z

2 y

y z

2 z

2 f

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2 2 x y 2 y2 2 z2

 

 

 

 

 

 

 

M 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
M0(2, 1, 1)

9

Матрица этой квадратичной формы:

2 f

2 x

2 f A

x y

2 f

x z

2 f

x y

2 f

2 y

2 f

y z

2 fx z2 fy z

2 f

2 z M 0

2

1

0

 

1

 

 

 

=

2

0

 

 

0

0

2

 

 

 

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

 

 

 

2

1

 

 

1

0

 

 

M 2

 

 

3 0 , M3

2

 

 

 

 

M1 2 0 ,

 

 

1

2

0

6 0

 

 

 

1

2

 

 

0

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По критерию Сильвестра форма f положительно определена, а значит, точка является точкой минимума функции f.

Выполнить самостоятельно. Исследовать на экстремум функции

13.f x3 y3 3xy .

14.f xyz(8 x y z)

Решение задач обобщающего типа по теме БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

15. Пусть f 6x1x2 2x1x3 4x2x3 - заданная квадратичная форма.

1. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Ла-

гранжа.

2.Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.

3.Указать линейное преобразование и сделать проверку.

4.Проверить на знакоопределенность.

5. Определить, какая поверхность определяется уравнением f (x) 1.

16. Пусть

f x2

3x2

4x2

2x x

2x x

6x x

- заданная квадратичная

 

1

2

3

1

2

1

3

2

3

 

форма.

1.Найти значение квадратичной формы на векторе a ( 2;2; 1) .

2.Проверить на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра.

3.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.

4.Указать линейное преобразование и сделать проверку.

5.Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.

Соседние файлы в папке Семинары Пронина Е.В.
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности