2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 11

Решение.

f (x) 4 x2

6 x x

3 x x

4 x x 1 x2

3 x2

1

1 2

1 3

2 3

2

3

b11

2b12 2b21

2b13 2b31

2b23 2b23

b22

b33

4

3

3

2

A

3

1

2

3

2

3

2

1

2

1

квадратичную форму. A

2

0

1

1

1

4

2

5

0

2

2

1

5

2

2

0 3

A

1

A

1

5.

A

1

3

1

6.

2 7

7.

0

2

8.

2

2

5

1 4

5 1

1

3

1

1

2

2

2

0

2

1

A

2

0

3

2

1

3

0

2

e1,e2 ,e3 в виде

Пример 3. Квадратичная форма задана в некотором базисе

f (x) x2 6x x

2

2x x

3

4x

2

x

3

x2

. Записать матрицу

заданной

квадратичной

1

1

1

3

формы и найти ее значение на векторе a ( 1, 2,3)

Решение.

1

3

1

A

3

0

2

1

2

1

1

3

1

1

f (x) ( 1, 2,3)

3

0

2

2

1

2

1

3

найти значения на векторе a из примера 3.

5

2

1

0

0

2

2

A

3

1

9. A 1

3

1 10.

2

2

0

1

4

5

1

1

2

2

5

1

2

2

0

2

1

11.

A

2

4

1

12. A

2

0

3

2

2

5

1

1

3

0

0

2

2

2

Пример

4.

Пусть

в

базисе

{e}

квадратичная форма задана в

виде

f (x) x2

4x2

6x x

2x x . Найти матрицу квадратичной формы в базисе

{f},

1

3

1

2

1

3

заданном координатами своих векторов:

f1 e1 , f2

e1 e2 ,

f3 e2 e3

1

3

1

странства:

Ae

3

0

0

1

0

4

1

1

0

Матрица перехода: Ce f

0

1

1

0

0

1

1 0

0 1 3

1 1

1

0

Тогда: A

f

CT A C

1

1

0

3 0

0

0

1

1

e f

e e f

0

1 1

1 0

4

0

0 1

Записать квадратичную форму в новом базисе самостоятельно

Пример

5. Пусть

в

базисе

{e}

квадратичная

форма

задана в виде

y

x

x

x

1

1

2

3

y2

x2 x3

y

x

3

3

Решение.

Преобразуем переменные к виду:

x

y

y

1

1

2

x2

y2 y3

x

y

3

3

Запишем замену переменных в матричном виде X CY :

x

1

1

0 y

1

1

x2

0

1 1 y2

0

x3

0 1 y3

1

1

1

3

3

Матрица исходной квадратичной формы 1

3

2

1

1

0

0 1 1

1 1

1

0

Тогда: A

f

CT

A C

1

1

0

1

3

3

0

1

1

e f

e e f

1

1

0

1 1

3

2

0 0