2-й семестр / Семинары Пронина Е.В. / Семинар 10

В линейном пространстве L фиксирован некоторый базис S=( e1, e2 ,...en ), то квадратичная

форма φ( x ) в этом базисе имеет вид

n

(x) = aij xi x j

где A = (aij ) - матрица квадратичной формы и

i, j =1

x = x1e1

+ x2e2 +...+ xn en .Это координатная запись квадратичной формы.

= x2

+

x2

+ ...+

x2

(*)

Если в некотором базисе S квадратичная форма имеет вид (x)

2

n

1

1

2

n

− 4x x

от двух переменных. Для приведения

1) Задана квадратичная форма (x) = x2

2

1

1

ее к каноническому виду выделим полный квадрат по x1 . Для этого соберем все

слагаемые, содержащие x1 , и дополним до полного квадрата:

= (x2

− 4x x

+ 4x2 ) − 4x2

= (x − 2x

)2 − 4x2 .

(x)

2

2

1

1

2

2

1

2

Введем обозначение:

y1

= x1 − 2x2 , y2 = 2x2 , получим квадратичную форму вида:

= ( y , y

) = y2 − y2

, канонический вид квадратичной формы.

(x)

2

1

1

2

Запишем преобразование координат в матричном виде:

y

1

− 2

x

Так как координаты вектора при замене базиса преобразуются

1

=

1

y2

0 2

x2

по формуле Y = P

−1

X

, то P

−1

1

− 2

, следовательно матрица перехода от

=

0

2

1

2

2

1

1

исходного базиса пространства к каноническому базису P =

=

0

1

.

2

0

1

2

− 4x

+ 2x x

− 4x x

от трех

2) Задана квадратичная форма (x) = x2 + 5x2

2

2

3

1

2

3

1

1

переменных.

а) Коэффициент при x

2

равен 1,т.е. отличен от нуля. Выделим в квадратичной форме

1

члены содержащие

x

:

x2

+ 2x x

2

− 4x x

3

, дополним это выражение до полного

1

1

1

1

квадрата членами не содержащими x1 , и сразу вычтем добавленные члены:

= x2 + 2x (x

− 2x

) + (x

− 2x

)2

− (x

− 2x

)2

+ 5x2

− 4x 2

= (x + x

− 2x

)

2 − (x

− 2x

)2

+

(x)

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1

1

2

3

1

+ 5x

2

− 4x 2

2

3

Введем обозначение: y1 = x1 + 2x2 − 2x3 . Приведем подобные члены, перепишем

квадратичную форму,

(x) = ( y , x

2

, x

3

) = y 2

− x2

+ 4x

2

x

3

− 4x2

+ 5x2

− 4x2

= y 2

+ 4x

2

+ 4x

2

x

3

− 8x2

= y 2 + (x

2

, x

3

)

1

1

2

3

2

3

1

2

3

1

. К квадратичной форме (x2 , x3 ) снова применим метод выделения полного квадрата:

(x

,x

) = 4((x

2

+ x

x

+

1

x

2

) −

1

x

2

)

− 8x

2

= 4(x

+

1

x

)

2

− 9x

2

.

2

3

2

2

3

4

3

4

3

3

2

2

3

3

Введем обозначения:

y

= x

+

1

x

, y

= x

, (x

, x

) = ( y

, y

) = 4 y 2

− 9 y 2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

3

2

3

Перепишем исходную квадратичную форму

= ( y , y

, y

)

= y 2

+ 4 y 2

− 9 y 2

,

(x)

2

3

1

1

2

3

y1 = x1 + 2x2 − 2x3

канонический вид квадратичной формы, где

y2 = x2 +

1

x3

. i+ = 2,i− = 1, r = 3

2

y3 = x3

y

1

2

− 2 x

1 2

− 2

1

−1

5

1

1

2

y

=

0

1

1

x

, P −1

=

0 1

1

, P =

0

1

− 1

матрица перехода от

2

2

2

2

2

0

0

1

0 0

1

0

0

1

y3

x3

x1

= t1 + t2

(x) = x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3 =

x2 = t1 − t2

= (t1 + t2 )(t1 − t2 ) + 2(t1 + t2 )t3 + 4(t1 − t2 )t3 =

x3

= t3

= t 2

− t 2

+ 6t t

3

− 2t

t

3

= (t 2

+ 6t t

3

+ 9t 2 ) − 9t

2

− t

2

− 2t

t

3

= (t + 3t

3

)2 − t 2

− 2t

t

3

− 9t 2

=

1

2

1

2

1

1

3

3

2

2

1

2

2

3

= (t

1

+ 3t

2

)2 − ((t 2

+ 2t

t

3

+ t

2 ) − t

2 ) − 9t 2

= (t + 3t

3

)2

− (t

2

+ t

3

)2

− 8t 2

= y 2

− y 2

− 8y 2

2

2

3

3

3

1

3

1

2

3

y1

= t1 + 3t3

= t2

+ t3

Выразив t1 ,t2 ,t3 через x1 , x2 , x3 , получим

Где

y2

y3

= t3

y = t + 3t

=

1

(x + x

) + 3 x

=

1

x +

1

x

+ 3x

1

1

3

1

1

3

2

1

2

3

2

1

2

2

3

2

2

1

1

1

y

= t

+ t

=

(x

− x

)

+ x

=

x −

x

+ x

;

P −1 =

1

−

1

1 ;

2

2

3

2

1

2

3

2

1

2

2

3

2

2

y3 = t3

= x3

0

0

1

−

1

2

− 1

2

2

1 1

− 4

1

1

P−1

= −

P = −

−

1

1

1

=

1 −1

− 2

i+

= 1,i− = 2, r = 3

2

1

2

2

2

0

0

− 1

0 0

1

2