Добавил:
Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
22
Добавлен:
02.06.2020
Размер:
641.43 Кб
Скачать

1

Канонический и нормальный вид квадратичной формы

Определение 1. Две квадратичные формы называются конгруэнтными (экви-

валентными), если существует невырожденное линейное преобразование, переводящее одну из них в другую.

Определение 2. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы этой формы в каком-либо базисе. Обозначается rf или r( f )

Определение 3. Квадратичная форма называется вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства Ln , и невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства Ln .

n

 

 

Определение 4. Квадратичная форма f (x) aij xi xj

называется канониче-

i, j 1

 

 

ской, если все коэффициенты aij 0 при i j .

 

 

 

n

То есть каноническая форма имеет вид: a11x12 a22 x22

... ann xn2

aii xi2 .

i 1

Матрица такой формы является диагональной.

Определение 5. Каноническая форма называется нормальной, если каждый ее коэффициент, отличный от нуля (т.е. aii ) , по абсолютной ве-

личине равен 1.

Определение 6. Каноническим видом данной квадратичной формы называется конгруэнтная ей (эквивалентная) каноническая форма, т.е.

форма, не содержащая смешанных произведений неизвест-

ных.

Нахождение по данной квадратичной форме конгруэнтной ей канонической квадратичной формы называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 7. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид называют каноническим базисом.

Теорема 1. Основная теорема о квадратичных формах

Любая квадратичная форма, заданная в конечномерном пространст-

ве, с помощью невырожденного линейного преобразования коорди-

нат может быть приведена к каноническому виду

2

Теорема 2. Для любой вещественной квадратичной формы существует конгру-

энтная ей нормальная ей квадратичная форма.

Теорема 3. Ранг квадратичной формы сохраняется при любом невырожденном линейном преобразовании переменных.

n

Пусть квадратичная форма f (x) aij xi xj некоторым линейным преобразо-

i, j 1

n

ванием приведена к каноническому виду aii xi2

i 1

Теорема 4. Если квадратичная форма невырожденным линейным преобразова-

нием приведена к каноническому виду, то число отличных от нуля коэффициентов равно рангу r квадратичной формы.

В дальнейшем рассмотрим два способа приведения квадратичной формы к ка-

ноническому виду: метод Лагранжа и с помощью ортогонального преобразования.

Закон инерции квадратичных форм

Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, не явля-

ется для нее однозначно определенным: всякая квадратичная форма может быть при-

ведена к каноническому виду многими различными способами.

Тогда возникает вопрос, что общего у тех различных квадратичных форм, к ко-

торым приводится данная форма f? Этот вопрос связан с другим очень важным вопро-

сом: при каком условии одна из двух данных квадратичных форм может быть переве-

дена в другую невырожденным линейным преобразованием? Строго говоря, ответ на этот вопрос зависит от того, какие - комплексные или действительные - формы рас-

сматриваются.

Определение 8. Положительным индексом инерции квадратичной формы

называется число квадратов с положительными коэффициен-

тами в каноническом виде квадратичной формы. Обозначается

r ( f )

Определение 9. Отрицательным индексом инерции квадратичной формы

называется число квадратов с отрицательными коэффициен-

тами в каноническом виде квадратичной формы. Обозначается

r ( f )

3

Разность между положительным и отрицательным и отрицательным индексами инерции называется сигнатурой формы f.

Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к ка-

ноническому виду. Говорят, что ранг, индексы инерции и сигнатура формы инвари-

антны относительно преобразования координат.

Теорема 5. Закон инерции квадратичных форм: Все канонические формы,

конгруэнтные данной квадратичной форме имеют одинаковое число нулевых коэффициентов; одинаковое число положительных и отрицательных коэффициентов.

Индексы инерции связаны соотношением: r ( f ) + r ( f ) = r( f ) .

Теорема 6. Две квадратичные формы от n неизвестных с действительными ко-

эффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга не-

вырожденными действительными линейными преобразованиями,

если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнату-

ры.

Доказательство. Пусть форма f переводится в форму f’ невырожденным дейст-

вительным преобразованием. Как известно, такое преобразование не меняет ранга формы. Такое преобразование не может менять также и сигнатуры, так как тогда f и f’ приводились бы к различ-

ным нормальным видам. Но тогда форма f приводится к этим обо-

им нормальным видам, что противоречит закону инерции.

Обратно: если формы f и f’ имеют одинаковые ранги и одинако-

вые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормаль-

ному виду, а значит, могут быть переведены друг в друга.

МЕТОД ЛАГРАНЖА

ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Обоснование метода основано на справедливости теоремы 1.

Для дальнейшего освоения метода нам понадобится повторить следующие важ-

ные формулы:

a2 2ab b2 (a b)2

a2 2ab b2 (a b)2

4

a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac (a b c)2

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду осно-

ван на процедуре выделении полного квадрата. Рассмотрим метод выделения полного квадрата на примере функции двух переменных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

4x x (2x )2 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. x

2

4x x 6x

2

 

(x 2x )2

2x

2

(x 2x )2

( 2x)2

 

1

 

 

1

 

2

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x1 2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

(3x )2 6x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. x

2

6x x 3x

2

 

2

6x x

2

(x 3x )2

6x2

(x 3x )2 ( 6x)2

 

1

 

 

1

 

2

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x1 3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3.

x

 

7x x

2

3x

2

 

 

7x x

2

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

3x

2

x

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

x

2

3x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

7

 

 

 

 

 

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x1

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

143

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

2

 

 

 

 

 

x

2

 

3x

2

 

x

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

7

 

 

 

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

2

 

 

 

 

4x

 

2

x 4x

 

2 16x2 x 4x

 

2

 

 

4x

 

2

 

 

4. x

2

8x x

2

 

x2

8x x

2

2

 

2

2

2

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x1 4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

143

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

2

 

 

 

 

 

x

2

 

3x

2

 

x

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

7

 

 

 

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

1.

 

 

 

Привести

 

 

к

 

 

 

 

 

каноническому

 

виду

 

 

квадратичную

 

 

 

 

форму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q x2

 

2x2

7x2

2x x

 

2x x

4x x .

 

 

 

Найти

 

 

значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

1

3

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадратичной формы на векторе a ( 1;5;0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала найдем матрицу квадратичной формы: Ae

1

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение формы на векторе a может быть найдено по формуле:

5

1 1

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) ( 1,5,0) 1

2

2

 

5

 

(4,9,9)

5

 

41

 

2

7

 

0

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата. Слагае-

мые, подчеркнутые одной чертой необходимы нам для соблюдения формулы, но, по-

скольку ранее их не было, то, добавив несуществующее ранее слагаемое, мы должны его же и вычесть (подчеркнуто двумя черточками):

Q(x , x , x ) (x2

2x x 2x x ) 2x2

7x2

4x x

 

 

 

 

 

1

2

3

1

 

 

 

1

2

 

1

3

 

 

2

 

 

3

 

2

3

 

 

 

 

(x2

x2

x2

x2

x2

2x x 2x x 2x x 2x x ) 2x2

7x2

4x x

1

 

2

2

3

 

3

 

 

1

2

 

 

1

3

 

2

3

 

2

3

 

2

3

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

x2

x2

2x x 2x x 2x x ) x2

x2

2x x 2x2

7x2

4x x

1

 

2

3

 

 

1

2

 

1

3

 

 

2

3

 

2

 

3

2

3

2

3

2

3

Приведем подобные слагаемые за скобкой и свернем скобку в полный квадрат:

Q(x1, x2 , x3 ) ... (x1 x2 x3 )2 x22 6x32 2x2 x3 .

!!! Обратите внимание: за скобкой нет слагаемых, содержащих неизвестное x1

Полный квадрат, содержащий неизвестное x1 , не изменяется. Среди оставшихся членов сгруппируем те, которые содержат неизвестное x2 , и дополним их до полного квадрата:

Q(x , x , x ) (x x x )2

x2

6x2

2x x (x x x )2 (x2

2x x x2 ) 5x2

 

 

1

2

3

 

1

2

3

2

 

3

2

3

1

2

3

 

2

 

 

2

3

3

3

 

(x x x )2 (x x )2

5x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

2

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем от неизвестных x1 ,

x2 ,

x3 к неизвестным y1 ,

y2 , y3

по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

y

x

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

x2 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда получим канонический вид квадратичной формы: Q y2

y2

5y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

3

 

 

 

 

 

Напомним, что преобразование координат выглядит:

X СY или Y С 1X

 

 

 

 

Выполненное

преобразование

 

координат

тогда

можно

переписать

 

в

виде:

 

y

 

1

 

1 1 x

 

x

 

1

1

0 y

 

 

 

 

1

1

0

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

0

 

1

1 x2

или

x2

 

 

0

1

1 y2

, где Ce f

 

 

0

1

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

1

 

 

y3

 

 

 

0 1 x3

 

x3

 

 

1 y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

e f

1

 

 

 

 

 

 

Ce f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица формы в старом базисе e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равна Ae 1

 

2

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица формы в каноническом базисе: Af

 

0

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем проверку:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0 0 1 1

1 1

1

0

 

1 1

1 1

1

0

 

1

0 0

A

f

CT

A C

 

1

1 0

1 2

2

 

0

1 1

 

 

0 1 1

 

0 1

1

 

 

0

1 0

 

 

e f

e e f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1 1

7

0 0

 

1

 

0 0 5

0 0

 

0

0 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как число слагаемых в каноническом виде равно трем, то ранг формы равен трем.

Так как канонический вид квадратичной формы содержит три слагаемых с положи-

тельными коэффициентами, то положительный индекс инерции равен трем: r ( f ) 3

z

x

x

 

x

1

1

 

2

3

Если взять z2

 

x2 x3 , то получим нормальный вид квадратичной формы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

 

5x3

Q z2 z2 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

Привести

 

к

каноническому

 

виду

 

квадратичную форму

f x2

8x2

4x2

4x x 4x x

12x x . Записать соответствующее преобразо-

1

2

3

1

2

1

3

2

3

 

 

 

 

 

вание координат. Определить ранг и индексы инерции формы.

 

 

Определить, какая поверхность определяется уравнением

f (x) 1

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выпишем матрицу квадратичной формы: Ae

2

8

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное

x1 , и дополним их до

полного квадрата.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q (x12 4x1x2 4x1x3 ) 8x22 4x32 12x2 x3

7

(x2

4x2

4x2

4x

2

4x2

4x x

2

4x x 8x x 8x x )

1

2

 

2

 

3

3

1

1

3

2

3

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x2

4x2

12x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x12 4x22 4x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 ) 4x22 4x32 8x2 x3 8x22 4x32 12x2 x3

Приведем подобные слагаемые за скобкой и свернем скобку в полный квадрат:

Q(x1 2x2 2x3 )2 4x22 4x2 x3 .

!!!Обратите внимание: за скобкой нет слагаемых, содержащих неизвестное x1

Полный квадрат, содержащий неизвестное x1 , не изменяется. Среди оставшихся членов сгруппируем те, которые содержат неизвестное x2 , и дополним их до полного квадрата:

Q (x1 2x2 2x3 )2 (4x22 4x2 x3 x32 ) x32

(x1 2x2 2x3 )2 (2x2 x3 )2 x32

 

 

Перейдем от неизвестных x1 ,

x2 , x3

к неизвестным y1 ,

y2 , y3

по формулам:

 

 

y

x

2x

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

2x2 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда получим канонический вид квадратичной формы:

Q y2

y2

y2 . Заметим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

форма приведена к нормальному виду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполненное

 

 

преобразование

 

координат

 

можно

переписать в виде:

y

 

1 2

2 x

 

x

 

1

1

1 y

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

0

 

 

2

1

x2

 

или x2

 

 

0

2

2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

 

0 0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

x3

 

x3

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 y1 y2 y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

y2

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица преобразования: Сe f

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, матрица формы в старом базисе равна Ae

 

2

8

6

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица формы в каноническом базисе: Af

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем проверку:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

0

 

 

2 2 1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

CT

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

A

f

A C

e f

 

1

 

 

0

 

2

8 6

 

0

1

 

 

 

 

e f

e

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

2

6 4

0 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

2 1

1

1

 

1 0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

1

 

0

2

2

 

 

0 1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 1

0 0

1

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как число слагаемых в каноническом виде равно трем, то ранг равен трем.

Так как канонический вид квадратичной формы содержит два слагаемых с положи-

тельными коэффициентами и одно слагаемое с отрицательным коэффициентом, то по-

ложительный индекс инерции равен трем: r ( f ) 2 , а отрицательный индекс инерции r ( f ) 1. Сигнатура равна r ( f ) r ( f ) 1

Теперь посмотрим, какую поверхность IIго рода определяет уравнение

f (x) 1

Для удобства переобозначим координаты на привычные для геометрического представления:

y1 Xy2 Yy3 Z

 

 

Тогда уравнение примет вид

X 2 Y 2 Z 2 1 - это уравнение определяет в

пространстве однополостный гиперболоид.

 

 

 

Вопрос: Какая поверхность определялась уравнением из примера 1?

 

 

Пример

3.

Исследовать

тип

поверхности, заданной уравнением

4x2

 

3

x2 2 x2 2x x

 

8x x 4x x

1 в зависимости от параметра .

4

 

1

 

2

3

1

2

1

3

2

3

 

Решение.

Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

Сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата.

9

4(x2

 

 

1

x x 2x x )

 

3

x2

2 x2

4x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1

2

 

1

3

 

 

 

4

 

2

 

3

2

3

 

 

 

 

 

 

 

4(x2

 

 

1

x x

 

1

x2

 

 

1

 

x2

2x x x2

x2

 

1

x x

1

x x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1

2

 

16

 

2

16

2

1

3

3

 

3

 

2

2

3

2

2

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

3

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4(x

 

1

x

x )2

2x x 4x2

 

1

x2

 

 

3

x2

2 x2

4x x

 

 

 

1

4

2

3

2

3

3

 

4

 

2

 

4

2

3

2

3

4(x

 

1

x

x )2

4x2

x2

2 x2

2x x

 

 

 

 

 

1

4

2

3

3

2

 

 

3

 

 

 

2

3

 

 

 

4(x1 14 x2 x3 )2 (x22 2x2 x3 x32 ) 3x32 2 x32

4(x1 14 x2 x3 )2 (x2 x3 )2 (2 3)x32

Перейдем от неизвестных x1 , x2 , x3 к неизвестным X , Y , Z по формулам:

X x

 

1

x

 

x

 

 

2

 

 

1

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x3

 

Y

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда получим канонический вид квадратичной формы: 4X 2 Y 2 (2 3)Z 2

1 .

Заметим, что канонический вид зависит от способа приведения квадратичной формы к такому виду. Неизменными остаются характеристики квадратичной формы, а именно ранг – количество квадратов в каноническом виде, положительный индекс инерции – количество квадратов с плюсом, и отрицательный индекс инерции – количество квадратов с минусом.

Продолжим исследование типа поверхности в зависимости от характеристик формы.

1. Если (2 3) 0 , то обозначим (2 3) с2 и уравнение поверхности примет

вид

4X 2 Y 2 с2Z 2 1

это уравнение задаёт в пространстве двуполостный гиперболоид. 2. Если (2 3) 0 , то уравнение примет вид

4 X 2 Y 2 1

ибудет определять цилиндрическую поверхность (гиперболическую)

3.Если (2 3) 0 , то обозначим (2 3) с2 и уравнение поверхности примет

вид

4X 2 Y 2 с2Z 2 1

это уравнение задаёт в пространстве однополостный гиперболоид.

10

Задача полностью решена.

Пример 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму

f 4x1x2 5x2 x3

Решение. Для того чтобы выделить полный квадрат, нужно чтобы квадрат пе-

ременной входил с ненулевым коэффициентом. Поэтому, когда в форме отсутствуют квадраты неизвестных, сначала выполним невырожденное линейное преобразование

x1 y1 y2

 

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y1

y2

с матрицей С1

1

1

 

:

 

x2

0

X C1Y , откуда Y C1

X

 

 

y3

 

 

0

1

 

 

 

x3

 

0

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4( y y

2

)( y y

2

) 5( y y

2

) y 4 y2

4 y2

5y y 5y

2

y

1

 

 

1

 

 

1

3

1

2

1

3

3

Заметим, что матрица новой формы

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

0

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

0

 

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь коэффициент при y1

отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно

выделить квадрат неизвестного

 

y1 .

Сгруппируем все слагаемые,

содержащие неиз-

вестное y1 , и дополним их до полного квадрата:

 

 

 

 

 

f 4 y2

 

4 y2

5y y 5y

2

y

(4 y2

5y y ) 5y

2

y 4 y2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

3

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

25

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y2

2

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

y

 

 

4

 

 

 

 

y

5y

y 4 y2

 

 

 

 

2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

64

 

 

3

 

 

 

 

 

 

64 3

 

 

 

2 3

2

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

25

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

y 4 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

5y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

8

 

 

3

 

 

16

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

25

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

 

 

 

 

y

 

 

4 y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

8

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

4

2

 

3

 

 

64

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

 

 

 

 

 

y

 

 

4 y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

8

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

8

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем от неизвестных y1 ,

y2 ,

 

y3

 

к неизвестным z1 ,

z2 , z3

по формулам:

Соседние файлы в папке Лекции Пронина Е.В.