2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 14

Множество всех таких векторов x Еn

называется ортогональным дополнени-

ем множества M и обозначается M . Таким образом,

M

x E

n

: x M .

Пример 1. Найти базис ортогонального дополнения подпространства, порож-

денного системой векторов u (1,0,1, 1) ,

v (1,2,1,1) ,

w (1,1,1,0) .

Решение. Пусть M – подпространство, порожденное данной системой векторов.

Ортогональное дополнение к M - M - состоит из множества векторов, ортогональных

каждому из векторов u, v, w .

То есть M x (x , x , x , x ) E

n

: x u, x v, x w .

1

2

3

4

Запишем условия ортогональности x u (x,u) 1 x1 0 x2 1 x3 1 x4

x v (x,v) 1 x1 2 x2 1 x3 1 x4

x w (x, w) 1 x1 1 x2 1 x3

Таким образом,

некоторый вектор x M , тогда и только тогда, когда его эле-

менты удовлетворяют системе уравнений

x

x

x

4

0

1

3

x1 2x2 x3 x4 0

x

x

2

x

0

1

3

Решим систему линейных уравнений

1 0 1 1

1 0

1 1

1

0 1 1

A 1

2 1

1

I

0

2

0

2

0

1

0 1

. Система совместна и

1 1 1 0

I

0 1

0 1

0

0 0 0

имеет бесконечно много решений.

x1, x2 - главные переменные,

x3, x4

-

свободные переменные. Пусть x3 С1 ,

x4 С2 .

x

x

x

0

x2 С2 ,

x1 С2 С1 .

Тогда из системы

1

x2

3

4

0

x4

C C

1

1

1

2

Общее решение

X

C2

C

0

C

1

C

1

1

2

0

1

C2

0

1

a

a

...

a

11

12

1n

a21

a22

...

a2n

Определение 2. Вещественная квадратная матрица A

...

...

...

...

an2

...

an1

ann

векторов

x1 (a11, a21,..., an1) ,

x2 (a21,a22 ,..., an2 ) , …,

xn (an1,an2 ,..., ann) является ортонормированной.

При этом предполагается,

что векторы x1, x2 ,..., xn

являются элементами евк-

n

зом:

(xi , x j ) aki akj .

k 1

Из определения следует, что если A - ортогональная матрица, то

n

1,

i j

(aki , akj )

i j

k 1

0,

Теорема 1.

A - ортогональная матрица AТ А Е .

Следствие 1.1. Если A – ортогональная матрица, то det A 1. Обратное не

верно.

Следствие 4.1. Если A – ортогональна, то А 1 так же ортогональна.

Действительно, рассмотрим

( А 1)Т

( АТ )Т A ( А 1) 1

след 3.1

Следствие 5.1. Если A – ортогональна, то АТ так же ортогональна

Действительно, рассмотрим

( АТ )Т A ( А 1) 1

( АТ ) 1

след 3.1

Следствие 6.1. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная

матрица.

Действительно, пусть A и B- ортогональные матрицы, тогда для них выполня-

ются условия AT А 1

и BT B 1 .

Рассмотрим матрицу С A B .

СТ ( A B)Т BT АT B 1 А 1 ( A B) 1 С 1 . Значит, С A B - ор-

тогональная матрица.

Теорема 2. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому

является ортогональной.

Пример

2. Проверить

на

ортогональность следующую систему векторов

x (

2

,

2

,

1

) , x

(

2

,

1

,

2

) ,

x (

1

,

2

,

2

) . Выполнить проверку двумя способами.

2

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

5

ˆ ˆ

ˆ ˆ

(x, y) ( y, x) ( Аx, Аy)

( Аy, Аx)

В силу

коммутативности скалярного произведения

ˆ ˆ

или

2(x, y) 2( Аx, Аy)

ˆ

ˆ

(x, y) ( Аx, Аy) . Что и требовалось доказать.

Следствие 1.4. Ортогональный оператор не меняет длины вектора, то есть

ˆ

x

.

Ax

Следствие 2.4. Ортогональный оператор не меняет угол между векторами, то

ˆ ˆ

есть (x, y) ( Ax, Ay) .

Из курса аналитической геометрии для пространств V2

и V3 нам известно, что

1

2

1

6

5

30

A

2

1

2

6

5

30

1

0

5

6

30

ˆ

Решение. А - ортогональный оператор A – ортогональная матрица, то есть

выполняются условия

n

1,

i j

(aki , akj )

i j

k 1

0,

n

1

1

2

2

1

1

(ak1, ak1)

1

6

k 1

6

6

6

6

6

n

1

2

2

1

1

(ak1, ak 2 )

0 0

k 1

6

5

6

5

6

n

1

1

2

2

1

5

(ak1, ak 3 )

0

k 1

6

30

6

30

6

30

n

2

2

1

1

(ak 2 , ak 2 )

0 0 1

k 1

5

5

5

5

n

2

1

1

2

5

(ak 2 , ak 3 )