2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 16

k

k

x'

x''

i

i

O

y

O

O

j

k

i

j

j

x

y'

z''

y''

2

y

2. Пусть

ˆ

-

образ вектора, пусть

1

Y

1

тогда верно

y A(x)

X

,

y2

,

3

y3

0 0

1 2

3

соотношение: Y

A X

1

0

0

1

2 .

0

1 0

3

1

3.1.

Пусть

ˆ

{x (x1, x2 , x3 ), x

3

ˆ

Решим матричное

Ker A

: A(x) }.

x

0

Ae X , где X

1

уравнение

x2

,

0

.

0

x3

0

0 1 x

0

x 0

1

1

Ae X

1

0

0

x2

0

, откуда

x2 0

0

1 0

x

0

x 0

3

3

rang Ae 3,

система

имеет

единственное

тривиальное

решение,

ˆ

0 ,

Ker A

ˆ

0

dim( KerA)

3.2.

Найдем

образы

базисных

векторов:

v1

ˆ

A(i ) (0;1;0) ,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

v2 A( j ) (0;0; 1) , v3

A(k ) (1;0;0) . Исследуем систему {A(i ), A( j ), A(k )} на

линейную независимость. Координаты образов образуют матрицу

Ae , ранг которой

равен

3. Базисом

являются векторы

ˆ

ˆ

v1 A(i ) (0;1;0) ,

v2 A( j ) (0;0; 1) ,

v3

ˆ

A(k ) (1;0;0)

ˆ

ˆ

ˆ

(0,0, 1) (1,0,0), , , } .

rang A dim(Im A) 3

. Im A { (0,1,0)

ˆ

ˆ

3 3 dim .

dim( KerA) dim(Im A) 0

ˆ

4. По критерию оператор A обратим, так как det A 0 .

5. Собственные векторы предлагается найти самостоятельно.

Пример 5.

Квадратичная форма задана в некотором базисе e1,e2 ,e3 в виде

f (x) x2

x2 5x2

6x x

2x x

2x x .

Записать

матрицу

заданной

1

2

3

1

2

1

3

2

3

1

квадратичной формы

и найти ее значение на векторе X

2

.

3

1

3

1

A

3

1

1

1

1

5

1

3

1

1

1

X T AX ( 1

2 3)

3

1

1

2

( 10 8

18)

2

80

1

1

5

3

3

2

3

1

B

3

1

2

3

1

6

det M1 0 , то векторы, образующие

M1

2

2

4

. Так как

M1 линейно

3

0

3

2

1

1

det M 2 0 , то векторы, образующие

M 2

3

3

2

. Так как

M 2 линейно

1

1

1

матрице M 2

5

2

1

5

3

1

X

5

3 1

8

1

5

0

1

6

2

3

1

1

1

Сe f

0

1

2

- матрица перехода от канонического базиса к новому. Так

0

0

1

как det Сe f

1 0 , то векторы, образующие a,b, c линейно независимы и образуют

есть матрица, обратная к матрице Сe f :

1

1

1

С f e С 1e f

0

1 2

0

0

1

1 1 1

5

6

3.

X

0 1 2

1

1

0 0 1

0

0

Пример 10. При каком значении параметра система векторов

;

не является базисом в линейном пространстве

2

3

5

A

1

0

1

;

4

2

a

окажется равным нулю.

det A=10-12+3

-4 = 0;

Значит, при a = 2. Система не образует базис.

Пример 11. Какие из заданных преобразований являются линейными в R3 :

ˆ

3x2

x3, x1 2x2 ,0)

a) A(x) (x1

ˆ

2

x3, x1

2x2,0)

b) B(x) (x1

3x2

ˆ

3x2 x3, x1 2, x3)

c) C(x) (x1

ˆ

x3, x1 2x2, x3 )

d) D(x) (x1

Решение.

Пусть

a (a1,a2 ,a3 ) R3,b (b1,b2 ,b3 ) R3-

произвольные

векторы пространства

R3 . Для каждого из заданных правил преобразования a)-f)

проверим условия a b R3 и a R3

Заметим, что a b (a1 b1, a2 b2, a3 b3) ,

a ( a1, a2, a3)

a)

ˆ

ˆ

a3, a1 2a2,0) (b1 3b2 b3, b1 2b2,0)

A(a) A(b) (a1 3a2

((a1 b1)

3(a2 b2 ) (a3 b3),(a1 b1) 2(a2

ˆ

b2 ),0) A(a b)

ˆ

,0) (a1 3a2 a3, a1 2a2,0)

A( a) ( a1 3 a2 a3, a1 2 a2

ˆ

A(a)

ˆ

Оператор A - линейный

b)

ˆ

ˆ

2

2

,0)

B(a) B(b) (a1

3a2

a3, a1 2a2 ,0) (b1 3b2 b3, b1 2b2

((a b ) 3(a2

b2 ) (a

b ), (a b ) 2(a

b ),0)

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

ˆ

2

(a3 b3),(a1 b1)

2(a2 b2 ),0)

B(a b) ((a1 b1) 3(a2 b2 )

ˆ

ˆ

ˆ

B(a)

B(b)

B(a b)

ˆ

Оператор B - не линейный.

c)

ˆ

ˆ

a3, a1 2,0) (b1 3b2

b3, b1 2,0)

C(a) C(b) (a1 3a2

((a1 b1) 3(a2

b2 ) (a3 b3), (a1 b1) 4,0)

ˆ

b2 ) (a3 b3), (a1 b1) 2,0)

C(a b) ((a1 b1) 3(a2

ˆ

ˆ

ˆ

C(a)

C(b)

C(a b)

ˆ

Оператор C - не линейный

ˆ

d) D(x) (x1 x3, x1 2x2, x3 )

ˆ

ˆ

a3 ) (b1 b3, b1 2b2 , b3 )

D(a) D(b) (a1 a3, a1 2a2 ,

ˆ

b1) (a3

b3),(a1 b1) 2(a2

b2),

a3 b3 )

D(a b) ((a1

ˆ

ˆ

ˆ

D(a)

D(b)

D(a b)

Оператор

ˆ

D - не линейный

Пример 12.

В пространстве

R3 {x (x1, x2 , x3 ), x R3} заданы линейные

ˆ

x3 , x1

ˆ

(x2 x3 ,3x3 , x1 x2 ) . Найти и описать

операторы Ax (x2

, x1 x3 ) , Bx

ˆ

ˆ 2

)x

действие (2B 3A

0 1

1

0

1

1

,

Решение.

A

1

0

0

B

0

0

3

1

0

1

1

1

0

0

2

2

0 1

1 0

1 1

(2B 3A2 )

0

0

6

3

1 0

0

1

0 0

2

2

0

1 0

1

1

0 1

0 2

2

2

0 1

6

2 1

0 0

6

3 0

1

1

0

3 3

2 2

0

1

0

1

1 0

1

Пример

13. Для линейного

оператора

=( ,

,

),

действующего в пространстве

, выбрать верную матрицу и верные утверждения.

a)

; Ker

; оператор обратим

b)

; Ker

; с

оператор необратимый

c)

; Ker

; с

оператор обратим

d)

; Ker

; оператор обратим

e)

; Ker

; с

оператор обратим

f)

; Ker

; оператор обратимый

Решение. Для решения этой задачи сначала необходимо составить матрицу

ˆ

данного оператора, выписав координаты образов векторов по столбцам: A(e1) (4;1;1)

ˆ

ˆ

; A(e2 ) (0; 2;3) ;

A(e3) (0;0;0)