2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 16
.pdfВопросы для подготовки к экзамену
1.Определение линейного пространства.
2.Линейная зависимость и независимость системы векторов.
3.Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов.
4.Преобразование базиса и координат векторов при смене базиса.
5.Определение линейного подпространства
6.Определение размерности и базиса линейного пространства.
7.Критерий линейно зависимости системы векторов
8.Определение линейного оператора.
9.Примеры простейших линейных операторов: Нуль оператор, тождественный оператор, оператор подобия.
10.Действия с линейными операторами.
11.Свойства суммы и произведения операторов.
12.Матрица линейного оператора
13.Невырожденное линейное преобразование.
14.Обратимый оператор.
15.Понятие обратного оператора.
16.Критерии обратимости линейного оператора
17.Свойства линейного оператора.
18.Понятие собственного вектора и собственного значения линейного оператора.
19.Свойства собственных векторов.
20.Понятие характеристической матрицы и характеристического многочлена.
21.Понятие характеристического уравнения.
22.Свойства линейной независимости собственных векторов
23.Понятие алгебраической и геометрической кратности
24.Алгоритм нахождения собственных векторов линейного преобразования.
25.Диагонализируемый оператор.
26.Оператор простого типа.
27.Необходимое и достаточное условие диагонализируемости линейного оператора
28.Определение билинейной функции
29.Понятие квадратичной формы.
30.Матрица квадратичной формы
31.Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
32.Понятие конгруэнтных (эквивалентных) форм
33.Понятие ранга квадратичной формы.
34.Понятие вырожденной и невырожденной квадратичной формы
35.Определение скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве.
36.Свойства скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве.
37.Модуль вектора в евклидовом пространстве. Свойства модуля. Формула для вычисления угла между векторами в евклидовом пространстве.
38.Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.
39.Преобразование матрицы Грама при смене базиса.
40.Метод Грама-Шмидта ортогонализации системы векторов.
41.Понятие ортогонального и симметричного оператора, действующего в евклидовом пространстве.
42.Свойства ортогональных матриц
43.Свойства симметричных операторов.
44.Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования