Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Лекция 12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2020

Размер:

721.68 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Евклидово пространство.

Матрица Грама скалярного произведения

Понятие n-мерного линейного пространства не в полной мере обобщает понятия плоскости или трехмерного евклидова пространства в n-мерном случае. Так, в частно-

сти, в n - мерном случае при n > 3 не определены ни длина вектора, ни угол между век-

торами. В связи с этим, становится невозможным развитие той богатой геометрической теории, знакомой нам для двух- и трехмерного пространства. Однако, эту ситуацию можно изменить.

Как известно из курса аналитической геометрии, на плоскости и в пространстве можно ввести понятие скалярного произведения векторов. Оно определяется с исполь-

зованием длин векторов и угла между ними. С другой стороны, мы знаем, что и угол между векторами, и длина вектора могут быть выражены через скалярное произведе-

ние. В связи с этим, имеет смысл определить скалярное произведение в любом n-

мерном линейном пространстве аксиоматически, с использованием некоторых свойств, которыми обладает скалярное умножение векторов на плоскости и в трехмер-

ном пространстве.

Рассмотрим линейное вещественное (или комплексное) пространство L . Наря-

ду с имеющимися в нем операциями сложения векторов и умножения вектора на число

(действительное или комплексное) введем еще одну внутреннюю алгебраическую опе-

рацию, являющуюся обобщением скалярного произведения геометрических векторов.

В основу определения этой операции положим свойства скалярного произведения гео-

метрических векторов, полученные в аналитической геометрии ранее.

Определения скалярного произведения в случае, когда L рассматривается над полем действительных чисел или над полем комплексных чисел отличаются друг от друга.

Определение 1. Будем говорить, что в действительном линейном пространст-

ве L определено скалярное произведение векторов, если

Каждой паре векторов x и y этого пространства поставим в соответствие ве-

щественное число, обозначаемое (x, y) так, что x, y, z L , R выполняются следующие аксиомы (аксиомы скалярного произведения):

I. (x, y) = ( y, x)

II. (x y, z) = (x, z) ( y, z)

III. ( x, y) (x, y)

IV. (x, x) 0 , причем (x, x) 0 x 0

Определение 2. Скалярное произведение (x, x) называется скалярным квад-

ратом вектора x и обозначается x2 : (x, x) x2

Укажем несколько важных свойств скалярного произведения векторов в веще-

ственном линейном пространстве, вытекающие из аксиом:

1R (x, y) (x, y) x, y L , R

2R (x, y z) (x, z) (x, z) x, y, z L , , , R 3R (0, y) (0 x, y) 0 (x, y) 0

Определение 3. Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве L

определено скалярное произведение векторов, если

Каждой паре векторов x и y этого пространства поставим в соответствие

комплексное число, обозначаемое (x, y) так, что x, y, z L , С выполняются следующие аксиомы (аксиомы скалярного произведения):

I. (x, y) = ( y, x)

II. (x y, z) = (x, z) ( y, z)

III. ( x, y) (x, y)

IV. (x, x) 0 , причем (x, x) 0 x 0

Свойства скалярного произведения векторов в комплексном линейном про-

странстве:

1С (x, y) (x, y) x, y L , С

2С (x, y z) (x, z) (x, z) x, y, z L , , , С 3С (0, y) (0 x, y) 0 (x, y) 0

Докажем свойство 1С для скалярного произведения векторов в комплексном

1			III						1
линейном пространстве (x, y) ( y, x)				( y, x) ( y, x) (x, y)

Задание* Установить чему равны скалярные произведения, рассмотренные ни-

же. Обосновать вывод, пользуясь аксиомами для соответствующего линейного про-

странства.

4R ( x y, z) , x, y, z L , , , R 4С ( x y, z) , x, y, z L , , , С

Пространство над полем R	Пространство над полем С

Аксиомы	Аксиомы

I. (x, y) = ( y, x)
	I. (x, y) = ( y, x)
II. (x y, z) = (x, z) ( y, z)	II. (x y, z) = (x, z) ( y, z)
III. ( x, y) (x, y)	III. ( x, y) (x, y)
IV. (x, x) 0 , (x, x) 0 x 0	IV. (x, x) 0 , (x, x) 0 x 0

Свойства	Свойства
x, y, z L , , , R	x, y, z L , , , С
1R (x, y) (x, y)
	1		(x, y) (x, y)
2R (x, y z) (x, z) (x, z)	С
	2	С	(x, y z) (x, z) (x, z)
3R (0, y) (0 x, y) 0 (x, y) 0
	3С (0, y) (0 x, y) 0 (x, y) 0
4R ( x y, z)	4С ( x y, z)

Определение 4. Евклидовым пространством называется линейное веществен-

ное пространство, в котором задана операция скалярного ум-

ножения векторов.

Евклидово пространство принято обозначать E

Определение 5. Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов.

Унитарное пространство принято обозначать U .

В частности n-мерное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение векторов, называется n-мерным евклидовым (или унитарным) про-

странством. Евклидово n-мерное пространство будем обозначать En (унитарное про-

странство - Un ).

Так как и евклидово, и унитарное пространства являются линейными простран-

ствами, то для них верно всё то, что было сказано об этих пространствах ранее. Но введение скалярного произведения позволяет ввести в этих пространствах метрику.

Теорема 1. При любом n в n-мерном линейном пространстве можно определить скалярное умножение, т.е. можно превратить его в евклидово про-

странство.

ПРИМЕРЫ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Пример 1. Пусть C[a,b] – множество всех непрерывных на промежутке

[a,b] действительных функций. Как рассматривалось ранее, это множество является

линейным пространством. Определим скалярное произведение следующим образом.

Если f (x) и g(x)	– две непрерывные на [a,b] функции,	то пусть

( f , g) f (x)g(x)dx .	Из свойств определённого интеграла следует, что все требо-

вания определения 1 выполняются. Следовательно, если в пространстве		всех непре-

рывных на промежутке [a,b] действительных функций ввести указанным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством.

Пример 2. Пусть M 2 2[R] – множество квадратных матриц с действительны-

ми элементами. Как было показано ранее, оно является линейным пространством на

полем		R .	Определим			скалярное		произведение	формулой
							. Легко проверить, что все требования опреде-
	1	1			1		. Легко проверить, что все требования опреде-
	1	1	1	1	1	1
	1	1

ления 1 выполняются. Множество M 2 2[R] стало евклидовым пространством.

Пример 3. Пусть M 2 2[C] – множество квадратных матриц с комплексными элементами. Это множество является линейным пространством на полем C . Опреде-

лим	скалярное	произведение	формулой
лим	скалярное	произведение	формулой	( A, B)	1	1
					1	1
					1	1

	1		1
								. Легко проверит, что все требования опреде-
				1	1	1	1	. Легко проверит, что все требования опреде-
1		1		1	1	1	1
1		1

ления 3 выполняются. Получили пример унитарного пространства.

Пример 4. В n -мерном пространстве арифметических векторов Rn можно вве-

		x		y
		1		1
сти скалярное	умножением, сопоставив элементам	X ...	,	Y ...	число

		xn		yn
X TY x y ... x y .
1 1	n n

Пример 5. Пусть Pn[t] – множество всех многочленов с действительными ко-

эффициентами степени не выше n. Как рассматривалось ранее, это множество является линейным пространством. Определим скалярное произведение следующим образом.

Если

p(x) p

p x ... p

x n

и q(x)

x ...q

xn – два многочлена из

Pn[t] , то ( p, q) p0 q0 p1q1 ...pn qn .

Следовательно,

если в пространстве Pn[t]

всех многочленов с действительными коэффициентами степени не выше n ввести ука-

занным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространст-

вом.

Далее речь пойдет о евклидовых пространствах.

Из рассмотренных примеров видно, что в n-мерном линейном пространстве ска-

лярное умножением можно задать по-разному, превратив его в n-мерное евклидово пространство, что определяется выбором базиса.

МАТРИЦА ГРАМА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть En - n –мерное евклидово пространство и пусть e {e1,e2,...,en} - базис

в нем. Так как в En для любой упорядоченной пары векторов определено их скаляр-

ное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векто-

ров. Составим из них матрицу

	(e , e )		(e , e ) ...			(e , e )
	1	1	1		2	1	n
	(e2	, e1)	(e2	, e2 ) ...		(e2	, en )
Г
		.		.	...		.
		.		.	...		.

	(en , e1)		(en , e2 ) ...
	(en , e1)		(en , e2 ) ...			(en , en )

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса e

. Используя матрицу Грама можно получить формулу для вычисления скалярного про-

изведения векторов, заданных координатами в некотором базисе e .

Пусть {e1,e2 ,..., en}- базис в En . Пусть {x1, x2 ,..., xn}, {y1, y2 ,..., yn} - коорди-

наты векторов x и y в этом базисе. Это означает, что имеет место следующее пред-

ставление векторов в разложении по базису:

x x1e1 x2e2 ... xnen , y y1e1 y2e2 ... ynen

Тогда

(x, y) (x1e1 x2e2 ... xnen ) ( y1e1 y2e2 ... ynen )

	n
	xi y j (ei , e j ) X T ГY , где X T - строка координат вектора X, Y – столбец коорди-

i, j 1

нат вектора Y.

(x, y) X T ГY

Свойства матрицы Грама

1Г Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Действительно, это следует из того, что (ei , e j ) (e j , ei ) .

2Г Элементы, стоящие на главной диагонали в матрице Грама строго поло-

жительны.

Действительно, так как каждый базисный вектор ei 0 , а на главной диагонали

стоят элементы (ei , ei ) ei2 0 .

3Г Для матрицы Грама и для любого n-мерного столбца X выполняется условие

X T ГX 0 .

Это также следует непосредственно из аксиомы IV скалярного произведения.

Определение 6. Симметрическую матрицу A, удовлетворяющую условию

X T ГX 0 для любого ненулевого столбца X называют по-

ложительно определенной.

Значит, мы можем сказать, что матрица Грама положительно определена.

4Г . Определитель матрицы Грама в любом базисе положителен.

Можно сказать, что скалярное произведение является симметрической били-

нейной формой. Причем, соответствующая ей квадратичная форма - положительно оп-

ределенная.

Пример 6. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы:

			6.1.		Г				1	2					6.2.			Г			1	2
			6.1.		Г										6.2.			Г	2
					1					1									2		2
									1	1											2	1
			6.3.		Г				1	1					6.4.			Г			2	1
			6.3.		Г	3									6.4.			Г	4
						3													4		1
									1	2											1	3
			Решение.
			6.1.		Г				1	2		- не является матрицей Грама, так как матрица не симметрич-
			6.1.		Г							- не является матрицей Грама, так как матрица не симметрич-
						1				1
									1	1
на и нарушается свойство 1Г .
			6.2.		Г				1	2															так как определитель матрицы
			6.2.		Г		2			- не является матрицей Грама,															так как определитель матрицы
							2
									2	1
меньше 0. Нарушается свойство 4Г .
			6.3.		Г				1	1			- является матрицей Грама, так как выполняются все усло-
			6.3.		Г		3						- является матрицей Грама, так как выполняются все усло-
							3				2
									1		2
вия 1Г - 4Г (матрица симметрична, на главной диагонали расположены положительные
значения, определитель матрицы больше 0).
Проверка условия 3Г :
Г		x x						1	1 x				(x x									x						2x )x
Г		x x									1		(x x				x 2x )						1	(x x )x ( x				2x )x
	3		1		2 1 2					x				1	2				1		2	x	2		1	2 1	1	2 2
											2												2
x2			x x	2	x x 2x2							x2		2x x	2	x2 x2					(x x )2				x2
		1	1	2			1		2	2		1		1	2			2		2		1		2	2
			6.4.		Г				2	1		- не является матрицей Грама, так как на главной диагонали
			6.4.		Г		4					- не является матрицей Грама, так как на главной диагонали
							4
									1	3
не все элементы положительны. Нарушается свойство 2Г .
			Пример 7. В базисе {e} пространства En скалярное произведение задано матрицей
Грама Г . Найти скалярное произведение векторов x и y.
			7.1. Пространство E											, базис {e , e }						,	матрица Грама					4	2
			7.1. Пространство E										2	, базис {e , e }						,	матрица Грама					Г		, x = (–3, 1)
													2					1	2								3
																										2	3

и y = (2, –7).

Решение 7.1. Используя формулу (1), получим

(x, y) X T ГY =

7.2. Пространство E3 , базис {e1,e2,

x = (1, –5, 4) и y= (–3, 2, 7).

( 3	4	2	2	=1
( 3	1)			=1

	2	3	7
				6		1	4
e3} , матрица Грама
e3} , матрица Грама				Г	1	2	0	,
					4	0	3
					4	0	3

Решение 7.2. Используя формулу (1), получим
	6		1	4	3
(x, y) X T ГY = (1	- 5 4)	1	2	0		2	= 9

		4	0	3		7
		4	0	3		7
Пример 8. В пространстве P2[t]	многочленов степени не выше 2-х скалярное

произведение задано формулой ( p, q) p(t)q(t)dt . Составить матрицу Грама этого

														1
скалярного произведения в каноническом базисе пространства {1,t,t 2} .
Решение.
											(e , e )				(e , e )					(e , e )
						Г					1		1		1			2		1	3
						Г					(e2 , e1)				(e2 , e2 ) (e2 , e3 )
											(e3, e1)				(e3, e2 ) (e3, e3 )
											(e3, e1)				(e3, e2 ) (e3, e3 )
Найдём все попарные произведения базисных элементов																						e		1, e					t, e					t2 :
																						1				2							3
1	1																			11 tdt			t 2		1
1																									1
(e1 , e1 ) 1 1dt t			2								(e , e ) (e						, e )									0
(e1 , e1 ) 1 1dt t			2								(e , e ) (e						, e )									0
	1										1		2		2			1						2
1								1												1	1				1					1
1																				1					1
1				t	3							2															t	3					2
1					3																							3
(e1, e3 ) (e3, e1) 1 t 2dt																		(e2 , e2 ) t tdt
(e1, e3 ) (e3, e1) 1 t 2dt																		(e2 , e2 ) t tdt
1				3				1			3										1					3				1			3
1				3				1													1									1
1						t	4		1												1							t			5	1		2
1							4		1												1										5	1
(e2 , e3 ) (e3, e2 ) t t		2dt									0							(e3, e3 ) t 2						t 2dt
(e2 , e3 ) (e3, e2 ) t t		2dt				4					0							(e3, e3 ) t 2						t 2dt										5
1									1												1									5		1		5
1									1												1									5		1
Матрица Грама будет иметь вид:
													2		0			2	3
																			3
										Г			0		2	3		0		.
																3
													2	3	0			2	5
														3					5

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ ГРАМА ПРИ СМЕНЕ БАЗИСА

Пусть e {e1,e2,..., en}, f { f1, f2,..., fn} - два различных базиса в En .

Пусть Гe , Г f - матрицы Грама скалярного произведения в базисах e и f соответ-

ственно. Пусть Ce f - матрица перехода от базиса e к базису f . Тогда в базисе

e скалярное произведение запишется в виде:

T	(1)
(x, y) X e	ГeYe

Преобразование координат каждого вектора выглядит следующим образом:

Xe Ce f X f Ye Ce f Yf			(2)
Подставим формулы (2) в (1)
T	T	T	(3)
(x, y) Ce f X f Гe Ce f Yf X f		Ce f ГeCe f Yf
В базисе f скалярное произведение запишется в виде:
T	Г f Yf		(4)
(x, y) X f	Г f Yf

Сравнивая скалярные произведения в правых частях равенств (3) и (4), получим связь между матрицами Грама в различных базисах пространства En :

X Tf Г f Yf X Tf CeT f ГeCe f Yf

(5)

Г C

e f

e e f

Пример 9. В базисе {e} пространства En скалярное произведение задано матрицей

Грама Гe . Найти матрицу Грама Г f

скалярного произведения в базисе { f } .

9.1. Пространство E

базис

{e , e } ,

матрица

Грама

1 2

f1 2e1 e2 , f2 e1 e2

Решение 9.1.

Матрица перехода: C

e f

Используя формулу (5), получим

																			10
Г		CT	Г C	2	1 T		4 2 2		1		10 7		2		1	27		17
Г	f	CT	Г C	=							=					=
	f	e f	e e f				2 3					5		1				11
				1	1		2 3	1		1	6	5		1	1	17		11
														6		1	4
9.2. Пространство E3 , базис {e1,e2,e3} , матрица Грама
9.2. Пространство E3 , базис {e1,e2,e3} , матрица Грама													Г		1	2	0	,
															4	0	3
															4	0	3
f1 e1 e2 e3 ,				f2 e1 2e3 ,			f3 2e1 e2
Решение 9.2.
					1		1	2

Матрица перехода: Ce f						1	0	1
						1	2	0
						1	2	0