2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 12

т.е. 2 (x, x) 2 (x, y) ( y, y) 0

Значит дискриминант D

квадратного

трехчлена 2 (x, x) 2 (x, y) ( y, y)

меньше, либо равен 0: D 4(x, y)2

4(x, x) ( y, y) 0 , откуда (x, y)2

(x, x) ( y, y) или

(x, y)2

(x, x) ( y, y) . Окончательно

(x, y)

x

y

Определение 8.

Вектор единичной длины называется единичным вектором

или ортом.

5. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Доказательство. Если а 0, то а 0.

Следовательно, существует вектор а0

=

1

а. Очевидно, а0 =1.

a

Определение 9.

Углом между ненулевыми векторами

x и y

называется такое

действительное число , что

cos

(x, y)

x

y

Пример 10. Найти длины элементов f (t) 3t 2 ,

g(t) t 3 евклидова про-

1

1

( f , g)

f (t)g(t)dt

странства всех многочленов P [t] со скалярным произведением

1

Решение. Чтобы найти длины элементов f и g, найдем скалярные квадраты

1

(3t 2)3

1

125

1

( f , f ) (3t

2)(3t 2)dt

14

9

9

9

1

1

1

(t 3)3

1

64

8

56

(g, g) (t 3)(t 3)dt

3

3

3

3

1

1

g

56

2

14

3

3

1

1

( f , g) (3t 2)(t

3)dt (3t 2 11t 6)dt

1

1

11t

2

1

t3

6t

14

2

1

( f , g)

Для нахождения угла

( f , g) , найдем cos ( f , g)

f

g

cos ( f , g)

( f

,

g)

14

3

f

g

2

56

14

3

Значит ( f , g)

6

11.1. Пространство E

, базис {e , e } ,

2

1

,

2

матрица Грама Г

1 2

1

3

(e , e )

(e , e )

(e , e )

(e , e )

2

1

Г

1

1

1

2

. Тогда

1

1

1

2

=

1

(e , e )

(e , e )

(e , e )

(e , e )

3

2

1

2

2

2

1

2

2

(e , e )

1

1

1

cos (e , e )

1

2

(e , e

2

) arccos

1

2

e1

e2

2

3

6

1

6

2)

, cos (x, y)

(x, y)

x

(x, x) ,

y

( y, y)

x

y

(x, x) X T ГX = (1

2

1

1

=10

x

(x, x) 10

2)

1

3

2

( y, y) Y T ГY = (1

2

1

1

y

( y, y) 7

-1)

=7

1

3

1

(x, y) X T ГY = (1

2

1

1

=-5

2)

1

3

1

5

5

cos (x, y)

70

70

10

7

70

14

70

(x, y) arccos

14

8

3

1

11.2. Пространство E3 , базис {e1,e2,e3} ,

матрица Грама Г

3

2

0

,

1

0

1

x e1 2e2 e3,

y 2e1 e3

Решение 11.2.

1) Составим матрицу Грама в базисе {e1,e2,e3} :

(e , e )

(e , e )

(e , e )

1

1

1

2

1

3

Г

(e2 , e1) (e2 , e2 ) (e2 , e3 )

.

(e3, e1)

(e3, e2 )

(e3, e3 )

(e , e ) (e , e )

(e , e )

8

3 1

1

1

1 2

1

3

Тогда

(e2 , e1)

(e2 , e2 )

(e2 , e3 )

=

3

2

0

(e3, e1) (e3, e2 )

(e3, e3 )

1

0 1

(e , e )

3

3

cos (e , e

)

1

2

(e , e

) arccos

1

2

e

e

4

1

2

4

1

2

(e , e )

1

2

2

cos (e , e )

1

3

(e , e ) arccos

1

3

e

e

2 2

4

1

3

4

1

3

cos (e

, e )

(e2 , e3 )

0

0 (e

2

, e )

2

3

e2

e3

2

3

2

2)

cos (x, y)

(x, y)

x

(x, x) ,

y

( y, y) ,

x

y

8

3

1

1

(x, x) X T ГX = (1

1)

2

2

3

2 0

= 7

x

(x, x) 7

1

0

1

1

8

3

1

2

( y, y) Y T ГY = (2 0

1)

3

2 0

0

= 29

y

( y, y) 29

1

0

1

1