Раздел 3

[1]: гл.7, §§ 1-6.

[2]: гл.7, §§ 1-7; гл.9, §§ 1-3.

[3]: гл.7, §§ 1-4; гл.9.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции? Найдите производную функции у = х³ , пользуясь только определением производной.

2. Что называется касательной к кривой в данной точке? Каков геометрический смысл производной? Как составить уравнение касательной?

3. Каков механический смысл производной?

4. Может ли функция иметь производную в точке разрыва?

5. Будет ли функция непрерывна в точке, если она в ней дифференцируема?

6. Перечислите правила дифференцирования и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

7. Производная сложной функции.

8. Что называется дифференциалом функции? Его основные свойства.

9. Каков геометрический смысл дифференциала функции в точке при заданном приращении аргумента?

10. Какие свойства дифференциала функции Вы знаете?

11. Сформулируйте теоремы Ролля и Лангранжа.

12. Дайте определение возрастания (убывания) функции. В чем состоит необходимый и достаточный признак возрастания (убывания) функции?

13. Дайте определение максимума (минимума) функции. В чем состоит необходимый признак экстремума?

После изучения этих тем можно приступить к выполнению второй задачи контрольной работы.

Задача 2

5х + 9

Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение

1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал

(-∞; +∞), так как выражение 5х + 9

в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.

2. Как элементарная функция данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.

3. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси ([2], гл.8, § 7).

Для отыскания наклонной асимптоты при х→+∞ вычислим следующие два предела

k = lim y/x и b = lim (y – kx)

x→+∞ x→+∞

Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x) ([2], гл. 9, § 7).

Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество *

Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х² , затем воспользуемся равенством (*) и основными свойствами предела:

5x + 9 5 9 5 9

+ +

y 5x + 9 x² x x² x x² 5 ∙ 0 + 9 ∙ 0

k = lim = lim = lim = lim = lim =

x→+∞ x x→+∞ x√x² + 3 x→+∞ x√x² + 3 x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √1 + ³/x² √ 1+ 3 ∙0

x² x

=0.

Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:

5x + 9

5x + 9 x 5 + ⁹/_x 5 + 9 ∙ 0

b = lim (y – kx) = lim y = lim = lim = lim = =

x→+∞ x→+∞ x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √1 + ³/x² √1 + 3 ∙ 0

x

=5.

Следовательно, прямая у = 5 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞ (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х→+∞).

Для отыскания наклонной асимптоты при х→-∞ вычислим пределы

k₁ = lim y/x и b₁ = lim (y – kx)

х→+∞ х→+∞

Если оба они существуют и конечны, то прямая y = k₁x + b₁ является наклонной асимптотой при х→-∞.

Для вычисления этих пределов используем те же приемы, что и выше, учитывая только на сей раз , что . Теперь, в частности, для отрицательных значений аргумента имеем:

√х² + 3 √х² + 3 х² + 3 3

= = -√ = - √ 1 +

х -√х х² х²

и следовательно, k₁ = 0, b₁ = -5

то есть наклонной (горизонтальной) асимптотой при х→-∞ на сей раз является прямая у = -5. Изобразим пунктиром найденные асимптоты на предварительном чертеже (рисунок2):

Рисунок 2

4. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат и установим участки ее знакопостоянства.

Для отыскания абсцисс точек пересечения графика с осью ОХ решим уравнение

5х + 9

= 0

Его единственным решением, очевидно, является х = -1,8. Причем, в силу положительности знаменателя при любом х ясно, что

f (x) > 0 при х > -1,8

f (x) < 0 при х < -1,8

Таким образом, точка А (-1,8; 0) является единственной точкой пересечения графика функции с осью ОХ, а для х из интервалов (-∞; -1,8) и (-1,8; +∞) соответствующие точки графика функции расположены, соответственно, ниже и выше оси абсцисс.

Точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ОУ – это всегда точка (0; f(0)), если только нуль входит в область определения функции. В нашем случае такой точкой является

В (0; ⁹/_√3), где ⁹/_√3= ^9√3/₃ = 3√3 ≈ 5,20.

Полученные в результате исследования точки А и В изобразим на предварительном чертеже (рисунок 2)

5. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.

Вычислим сначала ее производную:

5√х² + 3 – (5х + 9) х

√х² + 3 5(х² + 3) – х(5х + 9) 3(5 –3х)

у ^/ = = =

х² + 3 (х² + 3) √х² + 3 (х² + 3) ^½

Решая уравнение у^/ = 0, получим единственный корень производной: х = ⁵/₃ ≈ 1,67

Таким образом, необходимое условие экстремума ([2], гл.8,§ 4) выполняется лишь в точке

х = 5/3. Эта точка разбивает ось абсцисс на два интервала (-∞; ⁵/₃) и (⁵/₃; +∞)

знакопостоянства производной. Для определения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как 15 -3

f^/(0) = > 0 и f^/(2) = < 0

√27 √343

то заключаем, что функция возрастает на интервале (-∞; ⁵/₃) и убывает на интервале

(⁵/₃; +∞), и значит точка х = ⁵/₃ является точкой максимума данной функции ([2], гл.8 § 4). Значение функции в этой точке (то есть максимум функции) равно

5 ∙ ⁵/₃ + 9 52

f (⁵/₃) = = = √52 ≈ 7.21

√(⁵/₃)² + 3 √52

Отметим на чертеже вершину С (⁵/₃; √52) графика данной функции (рисунок 2).

6. Наконец, обратимся к исследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точек перегиба.

С этой целью найдем производную второго порядка данной функции:

-3(х² + 3)^3/2 – (5 – 3х) ∙ ³/₂ ∙ (х² + 3) ^½ ∙ 2х 3(х² + 3) ^½ [-(х² + 3) – х(5 – 3х)]

у ^/ = (у)^/ = 3 ∙ = 3 ∙

(х² + 3)³ (х² + 3)³

9(2х² – 5х – 3)

=

(х² + 3)^5/2

Решая затем уравнение у^// = 0, эквивалентное квадратному уравнению 2х² – 5х – 3 = 0, находим его корни: х₁ = -0,5; х₂ = 3, которые разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства второй производной: (-∞; -0,5), (-0,5; 3), (3; +∞). Для определения знака производной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак в какой-либо точке соответствующего интервала:

9 ∙ (2 + 5 - 3)

f^//(-1) = = ⁹/₈ > 0

√(1 + 3)⁵

9 ∙ (-3) 27 3

f^//(0) = = - = - = -√3 < 0

√3⁵ 9√3 √3

9 ∙ (32 – 20 – 3) 81

f^//(4) = = > 0

√19⁵ 19² √19

Из полученных неравенств вытекает, что график функции является выпуклым на интервале

(-0,5; 3) и вогнутым на интервалах (-∞; -0,5) и (3; +∞) ([2], гл.8 § 6), и значит точки

D (-0,5; f(-0.5)) и Е (3; f(3)), согласно определению ([2], гл.8 § 6), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найти ординаты этих точек:

-⁵/₂ + 9 13

f (-0,5) = = = √13 ≈ 3,61

√¹/₄ + 3 √13

15 + 9 24 12

f (3) = = = = 4√3 ≈ 6,93

√9 + 3 2√3 √3

Точки D и E также отметим на рисунке 2.

Учитывая результаты полного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точки предварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченно приближалась к асимптотам у = -5 и у = 5, соответственно (рисунок3)

Рисунок 3. Искомый график функции.