3. Правила доказательства.

Ошибки в доказательствах

Для каждого элемента структуры доказательства (тезиса, аргументов и демонстрации) существуют свои правила. По отношению к тезису обычно формулируют два правила: (1) тезис должен быть ясно сформулирован и (2) не меняться в ходе доказательства. Нарушение первого требования может привести к так называемой потере тезиса, когда доказывающий забывает или путает тезис. Нарушение второго правила ведет к подмене тезиса, что считается серьезной ошибкой доказательства. При этом нужно заметить, что логической ошибкой считается лишь негласная, тайная подмена тезиса. А в тех случаях, когда доказывающий видит, что ему не удается доказать или опровергнуть выдвинутый тезис, он вполне может его ослабить или каким-то еще образом изменить, и не обязан просто отказываться от доказывания. Если же доказательство (обоснование) проводится для нового научного знания, то совершенно абсурдно требовать, чтобы если первоначально сформулированная гипотеза не доказывается, то она была полностью отброшена. Видоизменение тезиса в процессе доказательства, когда его не скрывают, — важный компонент отыскания и обоснования истины.

По отношению к аргументам выдвигаются также два требования: (1) аргументы должны быть истинными и (2) истинность их должна быть обоснована до и независимо от тезиса. Нарушение первого требования ведет к ошибке, называемой “основное заблуждение” — использование ложного аргумента. А нарушение второго — к ошибкам, называемым “предвосхищение основания”, когда используется недоказанный аргумент, и “круг в доказательстве”, когда при обосновании тезиса используется утверждение, которое само в свою очередь подкрепляется тезисом. Следует оговориться, что требование, чтобы аргументы доказательства были абсолютно истинными (несомненными), обязательно лищь для доказательств в узком смысле, для полного обоснования истинности. Однако во многих случаях полезнее достигнуть относительного подтверждения тезиса, обоснования его достаточно вероятными, хотя и не достоверными аргументами, чем совсем отказаться от обоснования.

153

Наконец, требования к демонстрации. Они во всех случаях сводятся к тому, что способы рассуждения при доказательстве должны быть правильными, т.е. в умозаключениях разных типов не должно быть ошибок, которые в соответствующих разделах описаны. И поскольку способы демонстрации не исчерпываются дедукцией, полной индукцией и строгой аналогией, то все используемые в доказательствах вероятностные рассуждения должны быть максимально обоснованными.

Упражнения:

1. Проанализируйте следующие доказательства и найдите ошибки в них:

а) Длины всех окружностей равны. Возьмем два произвольных

диска различных диаметров, через центры которых проденем общую ось и жестко скрепим диски (склеим). Начнем катить больший диск по плоскости, тогда меньший будет “катиться” по мысленной плоскости, находящейся над первой. Поскольку диски жестко скреплены, то количество оборотов, сделанных большим диском при качении, всегда будет равно количеству оборотов, сделанных меньшим диском. И в то же время путь, пройденный большим диском, равен пути, пройденному меньшим диском. Но путь, пройденный диском при качении, равен длине его окружности, умноженной на количество сделанных оборотов. Таким образом, поскольку пути, пройденные ' большим и меньшим дисками, равны и диски сделали одинаковое число оборотов, длины их окружностей также равны.

б) Покупатель отдела головных уборов решил купить шляпу

ценой 15 рублей. В оплату покупки он протянул продавцу 50-ти рублевую купюру. Однако у продавца не оказалось сдачи, тогда он разменял эту купюру в соседнем отделе и отдал покупателю шляпу и 35 рублей сдачи. Покупатель ушел, а к продавцу отдела головных уборов вскоре подошел тот, у кого он разменивал 50-ти рублевую купюру и потребовал вернуть ему 50 рублей, ибо та купюра оказалась фальшивой. Продавец отдела головных уборов, конечно, тут же отдал ему 50 рублей. Таким образом, продавец отдела головных уборов, отдав покупателю шляпу за 15 рублей, 35 рублей сдачи (и не получив от него фактически ничего), а также, вернув 50 рублей продавцу соседнего отдела, понес убыток в 100 рублей.

в) Трое путников заплатили за обед в придорожном ресто154

ране 30 рублей (сложившись каждый по 10 рублей). Однако — только они вышли — официант решил, что обсчитал их слишком сильно и послал мальчика вернуть им 5 рублей. Мальчик же решил, что хватит им и

3 рублей, которые тут же отдал путникам, а себе оставил 2 рубля за услугу. Таким образом, в итоге путники заплатили за обед 27 рублей + 2 рубля остались у мальчика, и получается всего 29 рублей, т.е. 30 = 29.

г) Неумеренное употребление алкоголя вредно для здоровья и вообще влечет всякие несчастья. Почти 90% людей, умерших от рака пищевода и желудка, употребляли алкоголь много и регулярно, 81% людей, ставших жертвами дорожно-транспортных происшествий, также достаточно регулярно и неумеренно пили, 84% малолетних преступников происходят из семей, где один или оба родителя — алкоголики, Почти 100% людей, умерших от переохлаждения на улице (замерзших) — также алкоголики.

д) В ряду натуральных чисел 1 является наибольшим числом. Предположим, что это не так и наибольшим числом является не 1, а некоторое число п. Однако, поскольку п2 — также натуральное число и п2 больше п, значит, неверно, что п является наибольшим числом. А из ложности антитезиса с необходимостью следует истинность тезиса, т.е. что в ряду натуральных чисел