а) Студент не допускается к сдаче экзаменов, если он не сдал зачеты. — Если студент сдал зачеты, то он допускается к сдаче экзаменов..

б) Научная проблема либо решается, либо объявляется неразрешимой. — Неверно, что если научная проблема не решается, то она объявляется неразрешимой.

в) Число может не делиться на 9, но при этом делиться на

3. — Неверно, что если число не делится на 3, то оно не делится на 9.

г) Повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям человеческой истории, невозможно понять логику этой истории. — Неверно, что логику человеческой истории можно понять только при условии рассмотрения наиболее интригующих ее событий.

д) Неверно, что летом не было дождей или было холодно. — Если летом не было холодно, то были дожди.

е) Свидетель не знает потерпевшего или не говорит правды. — Если свидетель говорит правду, то он не знает потерпевшего.

ж) Неверно, что только один из этих двух экзаменов не был трудным. — Оба эти экзамена были трудными.

з) Никто не хотел умирать, не зная, за что умирает. — Либо человек знал, за что умирает, либо не хотел умирать.

и) Неверно, что, не зная правил грамматики, нельзя писать грамотно. — Неверно, что либо человек знает правила грамматики, либо не может писать грамотно.

к) Если углы геометрических фигур соответственно не равны, то лишь в этом случае фигуры не подобны. — Неверно, что если геометрические фигуры не подобны, то их углы соответственно равны.

Образец. Либо глагол в неопределенной форме оканчивается на “ить”, либо он не относится ко второму спряжению. — Неверно, что глагол в неопределенной форме не оканчивается на “ить” в том и только том случае, если он не относится ко второму спряжению.

Как видно по результирующим (выделенным) столбцам, данные суждения находятся в отношении противоречия.

7. Проверьте сокращенным табличным методом, совместимы ли следующие множества высказываний:

а) Если пассажир не оплатил свой проезд, он подвергается штрафу. Если проезд не оплачен, то пассажир не подвергается штрафу лишь в том случае, если он имеет право на безбилетный проезд. Некоторые пассажиры, не имея права на безбилетный проезд, не оплачивают проезд и при этом не подвергаются штрафу.

б) Либо свидетель не был запуган, либо, если Генри покончил жизнь самоубийством, то записка была найдена. Если свидетель был запуган, то Генри не покончил жизнь самоубийством. Если записка была найдена, то Генри покончил жизнь самоубийством*.

в) Каждый студент сдает зачеты и экзамены. Если студент не получил все зачеты, он не может сдавать экзамены. Если студент не сдавал экзамены, он не может считаться сдавшим экзамены. Если студент не считается сдавшим экзамены, он не получает стипендию. Иногда студент, не получив зачеты, получает стипендию.

г) Если вечер скучен, то Алиса начинает плакать или Анатоль рассказывает смешные истории. Если Сильвестр приходит на вечер, то или вечер скучен, или Алиса начинает плакать. Если Анатоль рассказывает смешные истории, то Алиса не начинает плакать. Сильвестр приходит на вечер тогда и только тогда, когда Анатоль не рассказывает смешные истории. Если Алиса начинает плакать, то Анатоль рассказывает смешные истории*.

д) Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка снижается, то либо падает курс акций, либо налоги не повышаются. Курс акций понижается тогда и только тогда, когда растет курс ценных бумаг и растут налоги. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не понижается, либо курс ценных бумаг не растет.

76

Либо повышаются налоги, либо курс акций понижается и снижается процентная ставка,

е) Контракт будет выполнен тогда и только тогда, если дом будет закончен в феврале. Если дом будет закончен в феврале, то мы сможем переехать 1 марта. Если мы не сможем переехать 1 марта, то мы должны внести квартплату за март. Если контракт не будет выполнен, то мы должны внести квартплату за март. Мы не будем вносить квартплату за март*.

Образец. Если Петя и Вася пойдут в поход, то Коля не пойдет. Он пойдет в том и только том случае, если в поход пойдет Олег. Но Олег не пойдет в поход без Васи. А Вася в поход не пойдет.

Запишем логические формы данных суждений и предположим, что они все вместе могут быть истинными: ((p&q)=>lr), (г = s), (Iq^ls), ]q

И И ИИ

Выведем из этого предположения все следствия. Во- первых, в третьей формуле есть 1 q, которое — тоже и. Тогда 1 s в ней — тоже и, поскольку в истинной импликации с истинным антецедентом консеквент обязательно истинен. Но тогда s во второй формуле ложно, а вместе с ним ложно и г, т.к. они эквивалентны. В этом случае ] г в первой формуле — истинно и, стало быть, вся она истинна (импликация с истинным консенвентом всегда истинна). Таким образом, когда q — л, г — л, s — л, все 4 высказывания истинны, значит они совместимы.

8. Логически отредактируйте дискуссию, установив отношения между высказываниями, выявив единомышленников и оппонентов, устранив высказывания, не несущие новой информации (предполагается, что каждый из участников дискуссии высказывает по одному суждению):

а) Наказание за преступление должно быть неотвратимым, но не жестоким.

б) Если наказание должно быть неотвратимым, то оно не должно быть жестоким.

в) Неверно, что, если наказание не должно быть жестоким, то оно должно быть нертвратимым.

г) Первый выступающий не прав. (Я не согласен с высказыванием а).)

д) Либо наказание не должно быть жестоким, либо оно не должно быть неотвратимым.

* Отмеченные задания этого упражнения взяты из книг: Р.Столл “Множества”. “Логика”. “Аксиоматические теории” и Э.Миндельсон “Введение в математическую логику".

77

е) Наказание должно быть неотвратимым только в том случае, если оно не должно быть жестоким.

ж) Неверно, что наказание должно быть неотвратимым и жестоким.

Указание: Запишите логические формы всех суждений и постройте для них общую истинностную таблицу. Устраните, если есть, повторы (эквивалентные высказывания). Выявите противоположные (если такие есть) точки зрения — это основные оппоненты, затем выявите сторонников каждой из них (совместимые с ними высказывания). Если эти последние не добавляют никакой информации к высказываниям основных оппонентов (подчинены им), то их можно исключить. Подумайте, какие отношения будут между высказываниями каждой из сторон, если противоположных точек зрения у участников дискуссии нет, а есть только противоречащие.