Мал..6 Взаємне розміщення 2-х матеріальних точок в інерціальній системі координат

По другому закону Ньютона будемо мати

(3.1)

де сила F у відповідності із законом тяжіння, дорівнює

(3.2)

де f – стала тяжіння, r – геоцентричний радіус – вектор ШСЗ. Прирівнюючи вирази (3.1) і (3.2) отримаємо

(3.3)

Для того, щоб знайти прискорення ШСЗ, вздовж осей x, y, z, яке позначимо через (похідні по часу), необхідно праву частину виразу (3.3)послідовно помножити на направляючі косинуси радіуса – вектора r відносно осей x, y, z. Ці направляючі косинуси відповідно дорівнюють , , . Таким чином отримують диференційні рівняння незбуреного руху:

(3.4)

де - гравітаційний параметр.

Інтегрування системи рівнянь другого порядку (3.4) дає 6 сталих інтегрування: сталі площ С1, С2, С3; сталу енергії h, початкову фазу φ0 і момент проходження через пери центр τ.

Зазвичай замість перерахованих сталих інтегрування використовують однозначно пов’язані з ними величини – так звані елементи орбіти.

Незбурений рух ШСЗ по орбіті характеризується наступними її елементами: великою піввіссю а (визначає розмір орбіти); її ексцентриситет е (визначає форму орбіти); кутом нахилу і площини орбіти до площини земного екватора і довготою висхідного вузла (визначають орієнтацію площини орбіти в просторі); аргументом пери центру і часом проходження ШСЗ через перицентр або істинною аномалією υ (визначають положення ШСЗ на орбіті) мал..7

Мал..7 Елементи орбіти

Найближча до Землі точка орбіти ШСЗ називається перицентром П, найбільш віддалена – апоцентром А.

Обидві точки – перицентр і апоцентр називаються апсидами, а лінія, що їх з’єднує, називається лінією апсид.

Точка , в якій орбіта ШСЗ перетинає площину екватор при переході ШСЗ з південної півсфери в північну, називається висхідним вузлом орбіти. Точка , в якій орбіта ШСЗ перетинає площину екватора при переході з північної півсфери в південну, називається спадним вузлом орбіти. Лінія, що з’єднує обидва вузла називається лінією вузлів. Кут між напрямком в точку весняного рівнодення і лінією вузлів називається довготою висхідного вузла - .

Кут між площиною орбіти і екваторіальною площиною називається нахилом орбіти - .

Кут між лінією вузлів та лінією апсид називається аргументом перицентру - .

Кут між радіусом – вектором ШСЗ і лінією апсид називається істинною аномалією. Іноді для характеристики орбіти використовують двогранний кут , що називається аргументом широти.

Для характеристики площини ШСЗ на орбіті використовують так звану середню аномалію М. Середня аномалія М визначається, як кут укладений між лінією апсид і напрямом в точку очікуваного положення ШСЗ на круговій орбіті, радіус якої дорівнює великій півосі. При цьому вважають, що рух ШСЗ відбувається з постійною середньою швидкістю („середнім рухом”), що дорівнює n = 360º/Т, де Т – період обертання ШСЗ. Таким чином, для кожного моменту часу t

М = n(t – Т) (3.5)

Якщо відомі елементи орбіти і радіус – вектор супутника в заданий момент часу t, якому відповідає значення істинної аномалії υ, то прямокутні координати визначаються за формулами:

;

; (3.6)

.

Радіус – вектор ШСЗ може бути визначений із інтеграла орбіти за формулою

(3.7)

де р – фокальний параметр, або

(3.8)

де Е – ексцентрична аномалія.

Алгоритм обчислення координат супутника і компонентів швидкості, елементи орбіти ШСЗ на деякий момент часу t, полягає в наступному:

1. Обчислення середньої аномалії М за формулою

(3.9)

2. Обчислення ексцентричної аномалії шляхом рішення рівняння Кеплера

(3.10)

3. Обчислення істинної аномалії за формулою

(3.11)

4. Обчислення геоцентричного радіуса – вектора ШСЗ

(3.12)

5. Обчислення геоцентричних прямокутних координат за формулами (3.6).

Задача обчислення координат супутника і компонентів швидкості на деякий момент часу t по заданим елементам орбіти , , , , , в небесній механіці вирішується в більшості випадків як частина загальної задачі обчислення ефемериди ШСЗ, під якою розуміють таблицю значень видимих координат небесного тіла на задані моменти часу. В цьому випадку, окрім елементів орбіти і моменту часу зазвичай задають ще і геодезичні координати пункту земної поверхні X, Y, Z. Для даного пункту на заданий момент часу обчислюють геоцентричні координати x, y, z і геоцентричний радіус – вектор r ШСЗ за формулами (3.6) – (3.12). потім знаходять топоцентричні прямокутні координати супутника:

х' = х – Х

у' = у – У (3.13)

z' = z – Z

Топоцентричні координати і топоцентричний радіус – вектор ШСЗ

, , (3.14)

Це вирішення прямої задачі.

Перейдемо тепер до розгляду оберненої задачі – обчислення елементів орбіти із спостережень.

При спостереженнях ШСЗ можуть бути виміряні наступні величини: топоцентричні напрями на супутник , ; топоцентричні відстані до супутника , одночасно напрями і відстані.

Тоді з вирішення прямокутного сферичного трикутника „вузол орбіти – ШСЗ – проекція ШСЗ на екватор” (мал..8) знаходять:

Мал.8. Зв’язок елементів орбіти ШСЗ з і .

1. Довготу висхідного вузла

(3.15)

2. Нахил орбіти

(3.16)

3. Аргумент широти

(3.17)

4. Фокальний параметр

(3.18)

5. Істинну аномалію

, (3.19)

6. Велику піввісь, ексцентриситет і середній рух

, , (3.20)

7. Аргумент перицентра

(3.21)

8. Ексцентрична аномалію

(3.22)

9. Момент проходження через пери центр

(3.23)