1.3. Корни многочленов.

1.3.1. Определение. Если

f(x)=a_nxⁿ+a_n1x^n1+...+a₁x+a₀ — (1.3.1)

многочлен над числовым множеством F, cF, то

f()=a_nⁿ+a_n1^n1+...+a₁+a₀ —

элемент из F. f() называется значнием многочлена f(x) при х=. Если f()=0, то  называется корнем многочлена f(x).

1.3.2. Упражнение. Пусть дан многочлен f(x)=x³3x+2. Найти:

а) f(2); б) f(1); в) f(2); г) f(1); д) f(3); е) f(4).

Решение. а) f(2)=2³32+2=4; б) f(1)=1³31+2=0 (в частности, 1 — один из корней многочлена f(x)=x³3x+2).

Ответ: а) f(2)=4; б) f(1)=0.

1.3.3. Упражнение. Найти многочлен второй степени f(x), если:

а) f(2)=6; f(1)=1; f(1)=9;

б) f(3)=4; f(1)=1; f(1)=2;

в) f(2)=6; f(1)=1; f(2)=5.

Решение. а) По условию имеем, что искомый многочлен имеет вид f(x)=ax²+bx+c. Поэтому f(2)=4a+2b+c, f(1)=a+b+c и f(1)=ab+c. Следовательно, для нахождения коэффициентов многочлена f(x)=ax²+bx+c необходимо решить систему Ее решением является а=3, b=4 , c=2.

Ответ: f(x)=3x²4x+2.

1.3.4. Упражнение. Найти корни многочлена f(x):

а) f(x)=3х4;

б) f(x)=2x³+8x²10х;

в) f(x)=x⁴2x³+x²;

г) f(x)=x³+x²4x+4 .

Решение. Для нахождения корней многочлена достаточно решить уравнение f(x)=0.

а) Решением уравнения 3х4=0 является х= . Следовательно, — корень многочлена 3х4.

б) Решениями уравнения 2x³+8x²10х=0 являются х₁=0, х₂=5, х₃=1. Следовательно, 0, 5, 1 — корни многочлена 2x³+8x²10х.

О т в е т: а) ; б) 0, 5, 1.

1.3.5. Теорема.  — корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x)=(х)g(x) для некоторого многочлена g(x).

1.3.6. Теорема (основная теорема алгебры). Всякий многочлен n-й степени, где n>0, имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).

Из теорем 1.3.5 и 1.3.6 вытекает

1.3.7. Следствие. Всякий многочлен P_n(x) n-й степени, где n>0, имеет в точности n корней; и если ₁, ₂, …, _n  все корни многочлена, то его можно представить в виде

P_n(x)=a₀(x₁)(x₂)…(x_n), (1.3.2)

где a₀  старший коэффициент многочлена.

1.3.8. Определение. Представление многочлена в виде (1.3.2) называется разложением его на линейные множители.

1.3.9. Упражнение. Разложить на линейные множители многочлены упражнения 1.3.4.

Решение. б) Так как корнем многочлена 2x³+8x²10х являются х₁=0, х₂=5, х₃=1, то 2x³+8x²10х=2(х0)(х+5)(х1), то есть

2x³+8x²10х=2х(х+5)(х1).

Ответ: б) 2x³+8x²10х=2х(х+5)(х1).

1.3.10. Упражнение. Разложить на линейные множители многочлены:

а) x⁴2x²+1;

б) x³+2x²x2;

в) x³7x6;

г) x⁴+x³11x²9x+18;

д) x⁵+9x⁴+27x³+23x²24x36.

Решение. г) Заметим, что х=1  корень многочлена. Поэтому, разделив его (многочлен) на х1, получим

x⁴+x³11x²9x+18=(х1)(x³+2x²9x18).

Далее, множитель x³+2x²9x18 разложим, группируя слагаемые и вынося за скобку общий множитель:

x³+2x²9x18=(x³+2x²)(9x+18)=x²(x+2)9(x+2)=(x²9)(x+2).

Наконец, x²9=(x3)(x+3) как разность квадратов. Окончательно получаем

x⁴+x³11x²9x+18=(х1)(x+2)(x3)(x+3).

Ответ: x⁴+x³11x²9x+18=(х1)(x+2)(x3)(x+3).

1.3.11. Определение. Если в разложении (1.3.2) многочлена какой-либо корень встречается в точности k раз, то этот корень называется корнем кратности k. Если k=1, то корень называется простым.

С учётом кратностей корней разложение (1.3.2) можно записать в виде

, (1.3.3)

где ₁, ₂, …, _k  попарно различные корни многочлена, k₁  кратность корня ₁, k₂  кратность корня ₂, и т.д. Ясно, что k₁+k₂+…+k_r=n.

Например,

(х3)(х+5)(х1)(х1)(х+5)(х2)(х3)(х+5)(х3)=(х2)(х3)³(х+5)³(х1)².

Здесь 2 простой корень данного многочлена, 3 и 5  корни кратности 3, 1  корень кратности 2.

1.3.12. Теорема. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами:

. (1.3.3)

При этом k₁+k₂+…+k_r+2(s₁+s₂+…+s_l)=n, и все квадратные множители x²+p_ix+q_i не имеют действительных корней (другими словами, их дискриминанты отрицательны: 4q_i<0.

1.3.13. Определение. Представление многочлена в виде (1.3.3), где 4q_i<0, называется разложением многочлена на неприводимые множители; соответственно, x_i (i=1, …, r), x²+p_jx+q_j (j=1, …, l)  неприводимые множители многочлена.

1.3.14. Упражнение. Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами многочлены.

а) x⁴+x³x1;

б) x⁴+x³11x²9x+18. (Указание: сгруппировать первые 2 слагаемые и 3-е, 4-е, 5-е слагаемые отдельно и заметить, что х=2  корень многочлена).