-29-

Глава 2. Многочлены и рациональные дроби

§1. Многочлены.

1.1.Понятие многочлена. Операции над многочленами.

1.1.1. Определение. Пусть F — некоторое числовое множество (например, это может быть множество действительных чисел R или множество комплексных чисел C). Тогда выражение f(x) вида

a₀xⁿ+a₁x^n1+...+a_n1x+a_n, (1.1.1)

где a₀, a₁, ... , a_n1, a_n — элементы множества F, x — некоторая переменная величина из, вообще говоря, произвольного (необязательно F) числового множества, называется многочленом над F. При этом, если a₀0, то n называется степенью многочлена f(x) и обозначается через ст.f(x).

Многочлены будем обозначать также через g(x), h(x) и т.д., иногда снабжая их индексами: f₁(x), f₂(x) и т.д.

Иногда многочлен будем записывать в виде

a_nxⁿ+a_n1x^n1+...+a₁x+a₀. (1.1.1)

Наконец, для того, чтобы подчеркнуть степень многочлена, его обозначают через P_n(x), Q_m(x) и т.д. Здесь n и m  степени соответственно P_n(x) и Q_m(x).

Многочлен может быть записан не только в виде (1.1.1) и (1.1.1), то есть в порядке понижения степеней, но и в произвольном порядке их следования. Если многочлен имеет вид (1.1.1) (соответственно, (1.1.1)), то говорят, что он записан в стандартном виде.

Любое ненулевое число из F можно рассматривать как многочлен нулевой степени, а число нуль — как многочлен неопределенной степени.

Если какой-либо коэффициент a_i у многочлена отрицателен, то принято вместо знака «+» в обозначении многочлена ставить соответствующий знак «». Например, пишут не 3x³+(4)x²+x+(2), а 3x³4x²+x2. Если какой-либо коэффициент a_i=0, то соответствующий член многочлена опускают. Так, пишут не 3x⁵+0x⁴+0x³4x²+0x2, а 3x⁵4x²2.

1.1.2. Упражнение. Указать коэффициенты и степени многочленов:

а) f(x)=3x⁵4x²+x2;

б) f(x)=x³x+2;

в) f(x)=3x⁵+2x²1;

г) f(x)=x⁷;

д) f(x)=3;

е) f(x)=(a²9)x²+(a3)x+(a3);

ж) f(x)=(a²4)x³+(a2)x²+3;

з) f(x)=(a²3a+2)x³+(a1)x²+(a2)x+5;

и) f(x)=(a³a)x²+a(a+1)x+a.

Решение. а) В обозначениях (1.1.1) имеем a₀=3, a₁=0, a₂=0, a₃=4, a₄=1, a₅=2. Степень многочлена f(x) равна 5.

е) Если a3, то a₀=a²9, a₁=a3 и a₂=a+3, а степень g(x) равна 2. Если a=3, то a₀=0, a₁=6, a₂=6, степень g(x) равна 1. Если же а=3, то g(x) — нулевой многочлен и степень его не определена.

Ответ: а) a₀=3, a₁=0, a₂=0, a₃=4, a₄=1, a₅=2. Степень многочлена f(x) равна 5.

1.1.3. Упражнение. Записать многочлен f(x), если заданы его коэффициенты:

а) 1; 2; 3; 4; 5;

б) 2; 0; 3; 1; 0; 1; 2;

в) 5; 0; 0; 0; 0;

г) 2; 1; 3; 1; 6;

д) 1; 0; 0; 0; 0; 4;

е) 3; 0; 0; 0; 0; 0;

ж) 2; 0; 1; 0; 4; 0.

Решение. а) f(x)=x⁴2x³+3x²4x+5;

б) f(x)=2x⁶+3x⁴x³+x2;

в) f(x)=5x⁴.

1.1.4. Определение. Два многочлена

f(x)=a_nxⁿ+a_n1x^n1+...+a₁x+a₀, (1.1.2)

g(x)=b_mx^m+b_m1x^m1+...+b₁x+b₀ (1.1.3)

называются равными, если m=n и a_i=b_i для любого индекса i. В частности, степени равных многочленов равны.

1.1.5. Упражнение. Определить, равны ли многочлены:

а) f(x)=x⁴2x³+3x²4x+5 и g(x)=x⁴x³+3x²4x+5;

б) f(x)=x⁴2x³+3x²4x+5 и g(x)=x⁴+3x²4x2x³+5.

Решение. а) Данные многочлены не равны, так как коэффициенты при x³ у них различны.

б) Данные многочлены равны, так как равны все коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

1.1.6. Упражнение. Какие из следующих многочленов равны между собой:

f(x)=0,5x³+2x²5х+7;

g(x)=lg x³+ x²+ х+7;

h(x)=sin30^ox³+lg100x² х+ ;

s(x)=cos120^ox³+ x²+ х+ ;

p(x)=cos90^ox+5;

q(x)=5.

1.1.7. Упражнение. При каких значениях a, b, c многочлены f(x)=ax⁴+bx³+3x²+5 и g(x)=x³+(c1)x²+5 равны между собой?

1.1.8. Определение. Пусть n>m. Суммой многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h(x), обозначаемый как f(x)+g(x) и такой, что

h(x)=c_nxⁿ+c_n1x^n1+...+c₁x+c₀,

где c_n=a_n+b_n, c_n1=a_n1+b_n1, ... , c₁=a₁+b₁, c₀=a₀+b₀. При этом если n>m, то считаем b_m+1, b_m+2, ... b_n равными нулю.

1.1.9. Определение. Произведением многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h(x), обозначаемый как f(x)g(x) и такой, что

h(x)=d_n+mx^n+m+d_n+m1x^n+m1+...+d₁x+d₀,

где d_i= , i=0, 1, ... , n+m1, n+m (например, d₀=a₀b₀, d₁=a₀b₁+a₁b₀, d₂=a₀b₂+a₁b₁+a₂b₀ и т.д.)

1.1.10. Теорема. Пусть f(x), g(x) и h(x) — многочлены. Справедливы следующие свойства операций сложения и умножения многочленов:

1. ст.(f(x)+g(x)) не выше максимального из ст.f(x) и ст.g(x).

2. ст.(f(x)g(x))=ст.f(x)+ст.g(x).

3. f(x)+g(x)=g(x)+f(x).

4. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x).

5. Существует такой многочлен 0(x), что f(x)+0(x)=f(x) для любого f(x). 0(х) называется нулевым. Роль нулевого многочлена играет 0.

6. Для любого многочлена f(x) существует многочлен g(x) такой, что f(x)+g(x)=0. g(x) называется противоположным к f(x) и обозначается через f(x). Ясно, что если f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n1+...+a_n1x+a_n, то f(x)=a₀xⁿa₁x^n1...a_n1xa_n.

7. f(x)g(x)=g(x)f(x).

8. f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x).

9. Существует такой многочлен e(x), что f(x)e(x)=f(x) для любого f(x). e(x) называется единичным. Роль единичного многочлена играет 1.

10. (f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x).

1.1.11. Определение. Разностью многочленов f(x) и g(x) называется многочлен h(x), обозначаемый через f(x)g(x) и равный f(x)+(g(x)). Таким образом, по определению полагаем f(x)g(x)=f(x)+(g(x)).

1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f(x)=3x³+2x²5 и g(x)=4x⁴x³+2x²x. Найти:

а) f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)g(x);

б) f(x)g(x)+f ²(x).

Решение. а) Согласно определению суммы многочленов f(x) и g(x) имеем

f(x)+g(x)=(0+4)x⁴+(3+(1))x³+(2+2)x²+(0+(1))x+(5+0)=4x⁴+2x³+4x²x5.

Далее, g(x)=4x⁴+x³2x²+x. Поэтому

f(x)g(x)=f(x)+(g(x))=4x⁴+4x³+x5.

Наконец, согласно определению произведения имеем

f(x)g(x)=(34)x⁷+(3(1)+24)x⁶+(32+2(1)+04)x⁵+

+(3(1)+22+04+(5)4)x⁴+(30+2(1)+02+(5)(1))x³+

+((5)2+0(1)+20))x²+((5)(1)+00)x+(5)0=

=12x⁷+5x⁶+4x⁵19x⁴+3x³10x²+x.

б) Заметим, что по свойству 10) имеем

f(x)g(x)+f ²(x)=(f(x)+g(x))f(x).

Поэтому

f(x)g(x)+f ²(x)=(4x⁴+2x³+4x²x5)(3x³+2x²5)=

=12x⁷+14x⁶+16x⁵15x⁴27x³30x²+5x+25.

Ответ: а) f(x)+g(x)=4x⁴+2x³+4x²x5,

f(x)g(x)=4x⁴+4x³+x5,

f(x)g(x)=12x⁷+5x⁶+4x⁵19x⁴+3x³10x²+x.

б) f(x)g(x)+f ²(x)=12x⁷+14x⁶+16x⁵15x⁴27x³30x²+5x+25.

1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f(x)=2x³3x²+7х+1 и g(x)=3x²+2x+5. Наиболее рациональным способом найти:

а) f(x)g(x), f(x)g(x);

б) f(x)g(x)+f (x), f ²(x)f (x).

1.2. Делимость многочленов.

1.2.1. Теорема. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) существуют такие многочлены q(x) и r(x), что

f(x)=g(x)q(x)+r(x), (1.2.1)

причем степень r(x) меньше степени q(x) или r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x) определяются однозначно.

Многочлен q(x) называется частным от деления f(x) на g(x), а r(x) — остатком.

Укажем два метода нахождения частного и остатка.

1. Метод деления “уголком”. Этот метод проиллюстрируем на следующем примере.

1.2.2. Пример. Найти частное от деления многочлена f(x)=3x⁴2x³+x²x1 на многочлен g(x)=x²3.

Решение. Будем вести запись процесса деления аналогично записи деления “уголком” целых чисел, пронумеровав каждый этап деления в круглых скобках. Итак:

(1) 3x⁴2x³+x²x1| x²3

3x² (берем по 3x² )

(2) _{_}3x⁴2x³+x²x1| x²3

(умножаем 3x² на g(x))  3x⁴9х² 3x²

(вычитаем из f(x) 3x⁴9х²) 2x³+10x²x1

(3) _{_}3x⁴2x³+x²x1| x²3

3x⁴9х² 3x²2х(берем по 2x)

_{_}2x³+10x²x1

(умножаем 2x на g(x))  2x³+6х

(вычитаем 2х³+6х из 2x³+10х²х1) 10x²x1

(4) _{_}3x⁴2x³+x²x1| x²3

3x⁴9х² 3x²2х+10(берем по 10)

2x³+10x²x1

2x³+6х

_{_}10x²x1

(умножаем 10 на g(x))  10x²30

7х+29  остаток

Таким образом, частное от деления q(x)=3x²2х+10, остаток r(x)=7х+29. При этом 3x⁴2x³+x²x1=(x²3)(3x²2х+10)+(7х+29).

2. Метод неопределенных коэффициентов также проиллюстрируем на предыдущем примере. Так как ст.f(x)=4 и ст.g(x)=2, то ст.q(x)=2, поэтому q(x)=аx²+bх+c. Далее, ст.r(x)<ст.g(x), поэтому r(x)=dx+e. Следовательно, равенство (1.2.1) для данных многочленов (f(x) и g(x)) и искомых (q(x) и r(x)) принимает вид

3x⁴2x³+x²x1=(x²3)(аx²+bх+c)+(dx+e). (1.2.2)

Выполнив операции в правой части и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему

решая которую, получаем

то есть имеем q(x)=3x²2х+10 и r(x)=7х+29.

1.2.3. Упражнение. Выполнить деление с остатком (двумя методами):

а) 2x⁴3x³+4x²5х+6 на x²3x+1;

б) x³3x²x1 на 3x²2x+1;

в) x⁴2x³+4x²6х+8 на х1;

г) 2x⁵5x³8x на х+3;

д) 4x³+x² на х+1+i;

е) x³x²х на х1+2i.

1.2.4. Определение. Если в представлении (1.2.1) r(x)=0, то говорят, что f(x) делится на g(x) нацело или что g(x) делит f(x).

1.2.5. Упражнение. При каких значениях а многочлен f(x) делится на многочлен g(x).

а) f(x)=х⁴+ах+6, g(x)=х²+2;

б) f(x)=x⁶+x³+а, g(x)=x³+2.

Р е ш е н и е. а) Разделим “уголком”:

_{_}х⁴+ах+6 | х²+2

x⁴+2x² x²+(a2)

_{_}(a2)x²+6

(a2)x²+2(a2)

62(a2)

Таким образом, f(x) делится на g(x), если остаток 62(a2)=0, откуда а=5.

Ответ: а) при а=5.