17. Потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона

Одной из важных задач теории графов является задача определения максимального потока от вершины S - источника графа G=(X,U) к какой-либо конечной вершине t - стоку. При этом каждая дуга имеет некоторую пропускную способность c_ij>0, определяющую наибольшее значение потока ф_ij, который может по ней протекать. Граф G=(X,U), имеющий источник S, сток t и пропускные способности дуг c_ij, называется сетью. Таким образом, значение потока ф_ij дуги u(x_i,x_j) должно быть меньше или равно ее пропускной способности: ф_ij< c_ij для всех дуг. Суммарный поток , входящий в вершину, равен суммарному потоку, выходящему из нее (кроме истока и стока):

Для источника s и стока t значение потока совпадает по модулю и равно суммарному потоку в сети ф(G): .

Разрезом S/T называется разбиение вершин графа на два непересекающихся подмножества S T= , включающие исток s S и сток t T. Дуга называется насыщенной, если поток через нее равен ее максимальной пропускной способности. Дуга принадлежит разрезу, если ее концы принадлежат разным подмножествам (S и T).

Теорема Форда-Фалкерсона (о максимальном потоке): величина потока в сети (s->t) равна пропускной способности ее минимального разреза ф(S/T): ф_max(G)=ф_min(S/T)

18. Связность графов. Теорема Менгера.

Граф G называется связным, если любые две его вершины соединены цепью или путем (в случае, если граф - ориентированный). Максимальный по включению вершин связный подграф называется компонентой связности k(G). Вершина графа - точка сочленения, если её удаление увеличивает число компонент связности графа. Вершина x связного графа тогда и только тогда является точкой связности, если найдутся 2 вершины x_i и х_j такие, что каждая цепь, соединяющая эти вершины, проходит через точку х. Мостом называется ребро, удаление которого увеличивает число компонент связности: n-k≤m≤(n-k)(n-k+1)/2.

Вершинной связностью графа называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или нетривиальному графу. Если это число ᴂ(G) = 0 - граф несвязный, если 1 - одна точка сочленения. ᴂ(k_n)=n-1.

Реберная связность λ(G) - наименьшее число ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу. Если оно равно 1 - есть мост.

Для любого графа вершинная и реберная связности связаны соотношением: ᴂ(G) ≤ λ(G) ≤δ(G).

Если в графе две вершины соединены множеством цепей, то эти цепи наз. вершинно непересекающимися, если у них нет общих вершин кроме данных двух. Если две цепи, соединенные в x_i и х_j не имеют общих ребер - то они наз. реберно непересекающимися.

Теорема Менгера гласит: Пусть G — конечный неориентированный граф и x_i x_j— две несмежные вершины. Наименьшее число вершин, разделяющих  x_i и x_j  равно наибольшему числу вершинно непересекающихся цепей.

19. Раскраска вершин и ребер графа

Раскраской вершин графа в k цветов называется разбиение x на k непересекающихся подмножеств так, что в каждом подмножестве нет смежных вершин. Каждому подмножеству сопоставляется цвет. Все вершины соцветные в одном подмножестве. Раскраской ребер графа называется разбиение сигнатуры графа U на k непересекающихся подмножеств , таким образом при котором каждое подмножество не имеет ни одной пары сложных ребер. Граф G называется реберно k - раскрашиваемым, если его ребра можно раскрасить k красками таким образом, что никакие два смежных ребра не окажутся одного цвета. Хроматическим числом графа (G) называется минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета. Граф G называется двудольным, если (G) ≤ 2.

Теорема о пяти красках.

Каждый планарный граф можно раскрасить с помощью пяти цветов так, что любые две смежные вершины будут окрашены в разные цвета.

Гипотеза о четырех красках

Каждый планарный граф можно раскрасить с помощью четырех цветов так, что любые две смежные вершины будут окрашены в разные цвета.