6. Метод ветвей и границ решения задачи коммивояжера

Формально алгоритм метода ветвей и границ выглядит следующим образом.

В начале любой итерации t известна верхняя оценка оптимального значения целевой функции. Имеется список задач (маршрутов), в котором некоторое подмножество значений c_ij изменено и принято равным ∞, а также подмножество {x_ij}={x_ij | x_ij=1}.

На итерации 1 основной список включает две задачи: в одной из них c_ij изменено на ∞, а в другой – соответствующая переменная x_ij=1, а c_ij= ∞.

На итерации t выполняются следующие шаги.

Шаг 1. Прекратить вычисления, если основной список пуст. В противном случае выбрать одну задачу и вычеркнуть ее из основного списка.

Шаг 2. Определить нижнюю оценку целевой функции для любого цикла, порождаемого выбранной задачей. Если нижняя оценка больше или равна F_t(x), то принять F_t+1(x) = F_t(x) и вернуться к шагу 1. В противном случае перейти к шагу 3.

Шаг 3. Если текущее решение определяет цикл, то зафиксировать его, принять равным соответствующему значению целевой функции и вернуться к шагу 1. В противном случае – перейти к шагу 4.

Шаг 4. Выбрать переменную х_hk, не входящую в текущее решение, такую, что c_hk < ∞ при условии, что х_hk=1 не приводит к образованию подцикла на переменных, уже вошедших в решение. При таком выборе внести в основной список две задачи. Каждую из этих задач принять идентичной задаче, выбранной на шаге 1, за исключением лишь того, что в одну из них ввести изменение c_hk =∞, а в другую – условие х_hk =1 и c_hk = ∞. Принять F_t+1(x) = F_t (x) и вернуться к шагу 1.

7. Математическая постановка транспортной задачи.

В пунктах P₁, P₂ … P_n имеется груз в количествах a₁, a₂ … a_n. Его необходимо перевезти в пункты Q₁, Q₂ … Q_n в количествах b₁, b₂, … b_n. Требуется составить такой план перевозок, при котором суммарные транспортные расходы минимальны.

Обозначим через x_ij – количество груза перевозимого из пункта P_i в пункт Q_j.

c_ij – стоимость перевозки единицы этого груза.

Количество груза отправляемого из пункта P_i должно быть равно имеющимся запасам a_n.

Количество груза поставляемого в Q_j должно быть равно имеющимся потребностям b_n.

Целевая функция определяет стоимость перевозки всего груза.

9. Модифицированный распределительный метод транспортной задачи

∑a_i ≠ ∑b_j

Транспортные задачи, у которых возможности и потребности не совпадают называются открытыми. Для их решения, в случае если ∑a_i > ∑b_j , вводят условного потребителя, для которого c_i,усл =0.

Если ∑a_i < ∑b_j , то вводят условного поставщика, для которого c_усл,j=0.

Таблица с таком случае будет иметь вид:

1. Ищем первоначальное распределение по методу северо-западного угла:

с_ij=φ_i.+φ_.j

φ_i. – потенциал строки i

φ_.j – потенциал столбца j

Расставляются φ_i. и φ_.j

2. Находим перспективные клетки

φ_ij=c_ij – (φ_i.+φ_.j)

3. В многоугольнике принятия решений выбирается min значение переменной, стоящих в клетках с отрицательными индексами.

Вновь пересчитываем потенциалы строк и столбцов, и так до тех пор, пока все потенциалы пустых клеток не станут полодительными.