Тема 2. Визначений інтеграл

Під час розв’язування задач слід пам’ятати, що для обчислення площі, обмеженої кривими і прямими , слід використовувати формулу

_.

Ця формула залишається правильною за довільних знаків значень функцій .

Обчислюючи площі фігури, обмеженої кривою, рівняння якої задано у полярних координатах, доцільно криву нарисувати в системі координат.

Питання для самоконтролю

1. Що є інтегральною сумою функції на заданому відрізку ?

2. Дайте визначення визначеного інтеграла.

3. Який геометричний зміст визначеного інтеграла від заданої функції?

4. Перелічіть основні властивості визначеного інтеграла.

5. Напишіть формулу Ньютона–Лейбніца.

6. У чому полягає спосіб підстановки за обчислення визначеного інтеграла?

7. Який вигляд має формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла?

8. Як обчислити площу криволінійного сектора у полярних координатах?

9. Запишіть формулу для обчислення дуги кривої у декартових і в полярних координатах.

10. Запишіть формулу для обчислення об’єму тіла за відомими площами його поперечних перерізів.

11. Запишіть формулу для обчислення об’єму тіла обертання.

Розв’язування типових прикладів

Приклад 1. Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання. Застосуємо підстановку . Тоді і

.

Приклад 2. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Застосуємо підстановку . Тоді ;

, звідси .

Приклад 3. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Перетворимо знаменник дробу, що стоїть під інтегралом, таким способом: .

Тоді після підстановки , отримаємо:

. При цьому при обчисленні інтеграла ми скористалися заміною змінної . Тоді , звідки

.

Приклад 4. Знайти інтеграл

Розв’язання. Застосуємо формулу інтегрування частинами

.

Нехай , . Тоді , . Отже,

.

Приклад 5. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Візьмемо , . Тоді , . Звідси

.

Застосовуючи в останньому інтегралі підстановку , отримаємо

, отже,

.

Звідси

.

Приклад 6. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Розкладемо знаменник на множники

.

Тоді .

Помножимо обидві частини цієї рівності на знаменник лівої частини. Отримаємо тотожність:

.

Тепер прирівняємо коефіцієнти за однакових степенів x:

;

З другого рівняння отримаємо:

Звідси

Отже,

Виділимо повний квадрат

Після заміни змінної , , і використання виділення повного квадрата отримаємо:

Відповідь:

Приклад 7. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Із рівності

отримаємо

Прирівняємо коефіцієнти за однакових степенів x:

;

Звідси Отже,

Приклад 8. Обчислити площу, обмежену параболами (рис. 2)

;

.

Розв’язання. Знайдемо абсциси точок перетину заданих парабол. Для цього прирівняємо праві частини їх рівнянь:

.

Звідси

Рис. 2. Площа обмежена параболами

Для обчислення площі використовуємо формулу

де – криві, які обмежують фігуру .

У нашому випадку

.