Тема 4. Вступ до математичного аналізу. Границя та неперервність функції однієї змінної

Під час вивчення цієї теми зверніть увагу на поняття функції та способи її задання. Основні елементарні функції та їх графіки. Центральними поняттями в цій темі є поняття границі функції та поняття неперервної функції. Знаходячи границі, часто здійснюють тотожні перетворення виразів, що не впливає на результат. Слід запам’ятати, який вигляд мають перша та друга особливі границі та в яких випадках кожну з них зручно застосувати.

Питання для самоконтролю

1. Що таке змінна величина?

2. Сформулюйте визначення функції. Що таке область визначення та область значень функції?

3. Які способи задання функції Ви знаєте? Які функції елементарні?

4. Сформулюйте поняття границі функції. Що таке одностороння границя?

5. Нескінченно малі та нескінченно великі величини.

6. Сформулюйте основні теореми про границі. Прогляньте знаходження основних типів границь.

7. Неперервність функції. Властивості неперервних функцій.

Приклад 4. Знайти границі функцій:

1) . Тут немає жодної особливості;

2) ;

3) ;

4)

5) Перша особлива (золота) границя .

;

6) Друга особлива (золота) границя

, .

= = = .

Невизначеності типу зводять до попередніх, наприклад,

= .

Тема 5. Похідна і диференціал. Застосування похідної для розв’язування задач. Дослідження функцій та побудова графіків

Вивчаючи цю тему, зверніть увагу на визначення похідної, її геометричного і механічного змісту. Найчастіше трапляються похідні складної функції. Дослідження поведінки функції потрібно почати із засвоєння понять зростання і спадання функції, максимуму й мінімуму функції, опуклості та вгнутості кривої. Слід чітко відрізняти максимум та мінімум від найбільшого і найменшого значень функції на проміжку. Екстремуми функцій є локальними. З огляду на це, максимум може бути менший, ніж мінімум. Найбільшого і найменшого значення функції досягають або на кінцях заданого відрізка, або в критичних точках.

Питання для самоконтролю

1. Сформулюйте визначення похідної.

2. Який геометричний зміст похідної?

3. Рівняння дотичної прямої до графіка функції.

4. Який механічний зміст першої та другої похідних?

5. Таблиця похідних і правила диференціювання.

6. Що таке диференціал функції? Чим він відрізняється від приросту функції?

7. Які ознаки зростання і спадання функції? Сформулюйте правила знаходження екстремумів функції. Наведіть приклад, який вказує, що перетворення на нуль похідної не є достатньою умовою екстремуму функції.

8. Як знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину кривої?

9. Дайте визначення асимптоти кривої. Як шукають вертикальні та похилі асимптоти?

Приклад 5. Знайти похідні фунцій:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язання:

а) похідну від функції беремо за правилом диференціювання складної функції

;

б) похідну від функції беремо за правилом диференціювання частки, тобто , маємо:

в) похідну від функції знаходимо як похідну добутку

г) похідну від функції шукаємо як похідну складеної функції