Понятие о частотном спектре.

Пусть имеется произвольный процесс y(t). Его можно представить в виде суммы синусоид:

Каждая синусоида А_К sin2_K в этой сумме – это гармоника. Каждая гармоника характеризуется частотой f_K и амплитудой A_K.

Если построить график зависимости амплитуд А_К Tц гармоник от их частот _К (А_К(_K)) – это и будет частотный спектр.

Особенностью частотного спектра практически любого процесса является то, что амплитуды постепенно уменьшаются до уровня А_n , которым можно пренебречь, т. е. существует верхняя граница частотного спектра f_n.

Обозначим её как F_max = f_n

Теорема Котельникова позволяет установить связь между временем цикла Тц и F_max спектра. Тц должно быть выбрано таким образом, чтобы не потерять информацию на том участке, где процесс изменяется с наибольшей скоростью. В частотном спектре этому участку будет соответствовать гармоника с наибольшей частотой.

Понятие частотного спектра позволяет свести задачу выбора Tц для произвольной функции к задаче выбора Tц для синусоиды. С помощью графика рис.6 поясняется, что для одиночной синусоиды квантование по времени имеет верхний предел (наибольшее значение) Tц равный половине периода синусоиды

=

Tц _n= ; Tц _n-1=;

Tцi =; Tц ₂=; Tц₁=

Это следует из того, что для восстановления синусоиды необходимо знать положения ее точек max и min, разделенных по времени на t =T/2.

Для произвольного процесса, т.е., для любой из гармоник - синусоид, входящих в ряд Фурье, образующих функцию y(t) с номером k =0... n можно записать время цикла

Tц_k = ....

При квантовании по времени предельным значением для Тц, т.е. для времени, определяющего интервал между соседними отсчетами, должна быть взята величина, обратная удвоенной max частоте спектра данного процесса.

Поскольку минимальное Tц будет для k = n и с учетом того,что f_n=Fmax можно написать:

Tц=_…. Это выражение учитывает, что синусоиды с меньшей частотой, чем Fmax тем более будут восстановлены – это основной результат теоремы Котельникова.

Теорема Котельникова:

Любая непрерывная ф-ия спектр к-ой ограничен частотой Fmax м.б. полностью восстановлена через определенные интервалы по дискретным значениям, к-ые носят название время цикла - Тц

15. Восстановление функции, квантованной по времени. Интерполяция ступенчатая и линейная.

Интерполяция – определение значений переменной между двумя соседними точками – отсчетами.

На рис.7 :

• y₁...y₅ – точки отсчета квантованной функции,

• пунктирная кривая – результат процесса интерполяции.

Квантование по времени – это отдельные отсчеты. Интерполяция – сплошная линия, процесс, обратный квантованию по времени. Существуют различные способы интерполяции: простые и сложные.

1. Ступенчатая интерполяция.

2. Линейчатая интерполяция.

3. Квадратичная интерполяция и т.д.

Каждому из способов соответствует на графике определенный отрезок между двумя соседними отсчетами.

Ступенчатая интерполяция.

При ступенчатой интерполяции в промежутках между соседними отсчетами, плавная кривая заменяется горизонтальными отрезками. Положение этого отрезка определяется положением предыдущего отсчета. Если отсчеты выбраны достаточно часто, т.е. если Тц невелико, то интерполированная зависимость будет приближаться к исходной плавной кривой.

Достоинство: простота, достаточно помнить один предыдущий отсчет.

Недостаток: большая погрешность интерполяции.

Погрешность ступенчатой интерполяции.

Погрешность ступенчатой интерполяциипоясняется графиком. Из графика длявидно,что погрешность может быть разных знаков.зависит от Тц и от

ст  Y_K - Y_K-1

В начале отсчета ст имеет наименьшее значение, а в

конце – наибольшее.

- скорость изменения процесса – тангенс угла наклона касательной к y(t). Исходя из геометрической интерпретации любого заштрихованного треугольника можно записать:

,

т.е.или, гдеt – текущее время между t _k+1 и t _k.

t - t_K  Тц , с учетом этого можно написать:

Чтобы получить меньшую погрешность, используют другие способы.

Линейная интерполяция.

Сущность линейной интерполяции – соединяются два соседние отсчета отрезком прямой.

Пунктир – исходная кривая. Ломаная – результат интерполяции. Погрешность минимальна вблизи отсчетов, а наибольшее значение находится посередине. Погрешность значительно меньше, чем при ступенчатой интерполяции. Погрешность зависит от второй производной,

т.е. погрешность определяется ускорением процесса. ускорение процесса.

Если процесс идет с постоянной скоростью, то ускорение =0, и линейн. интерпол-ия _Л =0.

Чтобы осуществить линейную интерполяцию, необходимо знать два соседних отсчета, т.е. она получается более медленная, чем ступенчатая.

Погрешность при линейной интерполяции будет в худшем случае в 4 раза <, чем при ступенчатой.

Более сложной будет квадратичная интерполяция, в этом случае между двумя различными отсчетами проводится парабола, точность выше, но надо знать уже три отсчета.

Можно провести кривую третьей степени (кубическая интерполяция), при этом точность ещё выше, но процесс сложнее и т.д.