4.2. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы используются для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

Уравнения в общем случае можно представить следующим образом:

f(x)=0.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими считаются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные).

Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-й степени с действительными коэффициентами:

f(x)=a₀+a₁x+...+a_n-1x^n-1+a_n xⁿ=0 .

Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными, например: x³+x²+2e^x+5=0; 2x-sin3x=0.

Задача решения уравнения заключается в нахождении таких значений х, которые обращают его в тождество.

4.2.1. Метод деления отрезка пополам

Рассмотрим некоторые итерационные методы решения нелинейных уравнений, которые часто используются при расчете химико-технологических систем.

Пусть дано уравнение f(x)=0. Допустим, нам удалось найти такой отрезок [a,b], на котором расположено значение корня x, т.е. а<x<b. В качестве начального приближения корня х₀ принимаем середину отрезка x₀=(a+b)/2. Далее исследуем значения функции: если f(x₀)=0, то х₀ является корнем уравнения, т.е. x=x₀. Если f(x₀)≠0, то выбираем одну из половин отрезка [a,x₀] или [x₀,b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки, т.е. содержит искомый корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [x₀,b]. Вторую половину отрезка на концах которого знак f(x) не меняется, отбрасываем: в данном случае [a,x₀]. Отрезок [x₀,b] вновь делим пополам. Новое приближение: x₁=(x₀+b)/2. Вновь исследуем функцию f(x) на концах отрезка и отбрасываем отрезок [x₀,x₁] т.к. f(x₀)>0 и f(x₁)>0. Отрезок [x₁,b],на концах которого функция имеет противоположные знаки f(x₁)<0, f(b)>0, вновь делим пополам и получаем новое приближение корня x₂=(x₁+b)/2. и т.д. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции f(a) после n-й итерации не станет меньше некоторого заданного малого числа (погрешности).

4.2.2. Метод простых итераций

Метод итераций представляет собой циклический процесс, очередное приближение которого есть корень с определенной точностью.

Исходя их найденного на предыдущем шаге значения х_n-1, вычисляем у = f(x_n-1). Если |y-x_n-1|> eps , то полагают х_n=y и выполняют очередную итерацию. Если же |y-x_n|<=eps, то приближенные вычисления заканчивают и за решение принимают x_n=y.

Рассмотрим пример решения уравнения е^х–10х = 0; eps = 0.001 на отрезке [0;6].

Корни х₁ и х₂ легко отделяются графически. Они являются абсциссами точки пересечения графиков e^x с прямой y=10·x. Для определения корня заменим исходное уравнение эквивалентным x = 0.1 e^x. На отрезке [0;1] f'(0)=0.1; f'(1)= 0.271; т.к. функция e^x монотонная, то 0<f'(x)<1, то есть q = 0.271. В качестве начального приближения выбираем х₀=1. Вычисления прекращаются, когда |Х_n-f(x_n)|<=eps. Последовательные приближения в этом случае таковы: x₁=0.271, x₂=0.131, x₃= 0.114, x₄=0.112, x₅= 0.111, то есть x₁=0.111 c точностью 0.001.

Для определения второго корня представляем исходное уравнение в виде х=ln(10x). В этом случае эквивалентной функций будет являться f(x)=ln(10x), а f'(x) = 1/x ;|1/x|<=0.5 , то есть q =0.5. x₀=2, x₁= 2.995, x₂=3.399, x₃= 3.526, x₄= 3.562, x₅=3.576, то есть x₁= 3.576 c точностью 0.001.