12.2 Действие погрешностей линейных измерений
Для упрощения примем, что полигонометрический ход имеет вытянутую форму. Для такого хода:
L = S1 + S2 + … + Sn,
где L – расстояние между крайними точками хода тн и тк или замыкающая хода.
Следовательно, погрешность будет равна:
dL = dS1 + dS2 + … + dSn.
Переходя к средним квадратическим погрешностям, получим:
.
При измерении линий действуют источники случайных Si и систематических Si погрешностей:
dSi = SiSi,
.
Систематическими погрешностями можно пренебречь, если:
.
В этом случае:
.
Т.е. ошибка в
вычислении средней квадратической
погрешности длины замыкащей хода будет
составлять 5%, а если
,
то 2%.
12.3 Продольная и поперечная погрешности полигонометрического хода
В полигонометрическом ходе любой формы невязки в приращениях координат вычисляются по формулам:
.
Абсолютная невязка хода вычисляется по формуле:
.
В вытянутом полигонометрическом ходе невязка fS делится на две составляющие:
t – по направлению хода;
u – перпендикулярно замыкающей хода.
Следовательно
,
где t – продольная погрешность хода;
u – поперечная погрешность хода.
Для вытянутого хода с равными сторонами:
,
.
12.4 Средняя квадратическая погрешность положения конечной точки вытянутого хода
Для вытянутого хода, углы которого не исправлены за угловую невязку f, средняя квадратическая погрешность положения конечной точки будет равна:
.
Если угловая невязка хода распределена, то:
.
Т.е. предварительное исправление углов понижает влияние погрешностей угловых измерений на поперечную невязку вытянутого хода примерно в два раза и уменьшает общий сдвиг конечной точки хода. При наличии погрешностей в исходных дирекционных углах и координатах получим:
,
где m - средняя квадратическая погрешность исходного дирекционного угла;
mн-к – средняя квадратическая погрешность конечного пункта mк по отношению к начальному пункту mн.
12.5 Средняя квадратическая погрешность конечной точки хода произвольной формы
В полигонометрическом ходе изогнутой формы будут иметь место невязки f’X и f’Y и невязка в периметре:
.
Предположим, что для одного и того же хода k раз измерены все углы и все линии. Следовательно, можно найти k значений невязок f’X, f’Y и f’S, т.е. средние значения будут равны:
.
Поэтому:
.
Запишем координатные условные уравнения:
где
αi
– дирекционный угол линий хода;
υЅi и υβi – поправки в измеренные значения линий и углов;
Xn+1 - Xi, Yn+1 - Yi – разность координат между конечной и каждой точками хода;
f‘x f‘y – невязки в приращениях координат.
Учитывая, что поправка υ и ошибка d отличаются знаками
Получим,
Переходя к среднеквадратической погрешности, будем иметь
Следовательно, при mβi = mβ
Так как
получим
где Dn+1, i – расстояние между последней и i точками хода.
С учетом погрешностей исходных данных будем иметь
Если углы предварительно исправлены за угловые невязки, то
,
где D0, i – расстояние между центром тяжести вершин хода и каждым его пунктом;
D1, 0 Dn+1,0 – расстояние от центра тяжести до начальной и конечной точки хода
Координаты центра тяжести вершин хода вычисляются по формуле:
.