discrete_mathematics

хай M – множина всіх тих множин, що не є елементами самих себе. Розглянемо питання: а чи є сама множина M елементом самої себе? Якщо припустити, що M M, то із означення множини M випливає M M. Якщо ж припустимо, що M M, то з того самого означення дістанемо M M.

Близьким до парадокса Рассела є парадокс цирульника. Цирульник – це мешканець міста, який голить тих і тільки тих мешканців міста, які не голяться самі. Виникає проблемаз визначенням множини C усіх тих мешканців міста, яких голить цирульник. Міркуючи аналогічно тому, як це було зроблено в парадоксі Рассела, дійдемо висновку, що цирульник голить себе в тому й тільки в тому випадку, коли він не голить сам себе, тобто цирульник належить множині C тоді й лише тоді, коливінне належить C.

Багато хто із математиків на початку ХХ ст. не надавав цим парадоксам особливого значення, оскільки в той час теорія множин була відносно новою галуззю математики й не зачіпала інтересів більшості фахівців. Однак їхні більш відповідальні та проникливі колеги зрозуміли, що виявлені парадокси стосуються не тільки теорії множин і побудованих на ній розділів класичної математики, але й безпосередньо пов'язані з логікою взагалі, яка є головним інструментом математики.

Зокрема, парадокс Рассела можна переформулювати в термінах логіки й таким чином додати до відомих із давніх часів логічних парадоксів: парадокса брехуна (людина, яка завжди каже неправду, одного разу мовить: Те, що я сказав, – брехня), парадокса всемогутньої істоти (чи може всемогутня істота створити такий камінь, який вона не зможе підняти?) тощо.

Гостро постало питання про обґрунтування засад математики. На початку двадцятого століття виникли три основні напрями досліджень з обґрунтування сучасної математики. Коротко подамо суть кожного з них.

1. Логіцизм. Основною тезою логіцизму є положення, що першооснова математики – це логіка, а математика – лише частина логіки, тобто всі математичні істини складають власну підмножину множини всіх логічних істин.

Основні ідеї й методи логіцизму було вперше викладено у великій праці А. Уайтхеда і Б. Рассела "Принципи математики", що вийшла друком на початку другого десятиріччя ХХ ст.

136

Незважаючи на те що в межах логіцизму проблему обґрунтування математики не було остаточно розв'язано, усе ж було зроблено чимало для з'ясування деяких важливих аспектів логічної структури математики.

2. Інтуїціонізм. Основними засадами інтуїціонізму є такі:

1)основою математики вважають поняття натурального числа, причому систему натуральних чисел покладають інтуїтивно відомою;

2)усі інші математичні об'єкти будують на основі натуральних чисел суто конструктивно за допомогою скінченної кількості застосувань скінченної кількості конкретних операцій.

Доведення існування математичного об'єкта зводиться до побудови конкретного алгоритму, тобто визнаються лише конструктивні доведення існування математичних об'єктів. Зокрема, не визнається доведення існування математичних об'єктів методом від супротивного;

3)закон виключеного третього незастосовний до нескінченних множин (закон виключеного третього – це логічна аксіома, згідно з якою із двох тверджень A та не A тільки одне істинне);

4)визнається абстракція потенційної нескінченності та відкидається абстракція актуальної нескінченності.

Обґрунтування математики в межах інтуїціонізму натрапляє на дві основні перешкоди: значну частину її важливих розділів не вдається побудувати засобами інтуїціонізму або ж така побудова має досить громіздкий і штучний вигляд, який не задовольняє переважну більшість як математиків-теоретиків, так і практиків.

Наступним кроком у розвитку інтуїціонізму є конструктивний напрям (або конструктивізм), що розвивається на основі уточненого поняття алгоритму.

3. Формалізм. Засновником формалізму вважають Д. Гільберта. Цей напрям є подальшим поглибленням аксіоматичного методу в математиці. Основою будь-якої аксіоматичної теорії є перелік неозначуваних (первинних) понять і список аксіом, тобто положень, які беруть за вихідні та істинність яких декларують із

137

самого початку. Додатково означають логічні правила, за допомогою яких з одних тверджень (зокрема аксіом) дістають інші.

Гільберт і його послідовники вважали, що кожен розділ математики можна повністю формалізувати, тобто за допомогою формальних виразів (формул) подати всі аксіоми, а всі математичні (логічні) доведення звести до суто формальних перетворень над формулами.

Саме на основі ідей формалізму Е. Цермело 1908 року побудував першу формальну аксіоматичну теорію множин (систему Цермело–Френкеля, або ZF). Пізніше було запропоновано багато видозмін і вдосконалень ZF і кілька інших аксіоматичних теорій множин.

Проаналізувавши всі парадокси теорії множин, можна дійти висновку, що всі вони зумовлені необмеженим застосуванням

принципу абстракції (або принципу згортання), згідно з яким для будь-якої властивості P(x) існує відповідна множина елементів x, які мають властивість P. Якщо відкинути це припущення, то всі відомі парадокси теорії множин стають неможливими. Наприклад, із парадокса Рассела випливало б, що не існує множина множин, які не є елементами самих себе.

В усіх існуючих аксіоматичних теоріях множин неможливість антиномій ґрунтується на обмеженнях принципу згортання, тобто на обмеженні допустимих множин.

138

Розділ 3 КОМБІНАТОРИКА

Комбінаторика (інша назва – комбінаторний аналіз) – це розділ сучасної дискретної математики, що вивчає способи вибору й розміщення певних предметів, досліджує властивості та формулює методи обчислення кількостей різноманітних конфігурацій, які можна утворити з цих предметів. Оскільки конкретний вигляд (матеріальна сутність) предметів, які обирають і розміщують, не має для комбінаторного аналізу жодного значення, то при формулюванні та розв'язуванні задач комбінаторики використовують загальні поняття й терміни теорії множин і відношень. Особливо слід наголосити, що всі множини, з якими має справу комбінаторика, скінченні. Далі скрізь у цьому розділі під словами множина чи підмножина розумітимемо скінченні множини.

Користуючись мовою теорії множин, можна сказати, що комбінаторика вивчає різноманітні властивості множин, які можна утворити з підмножин певної скінченної множини. При цьому кожного разу задають певні правила, за якими формуються ці множини і підмножини.

Кількість елементів (потужність) основної скінченної множини називають розмірністю комбінаторної задачі.

Комбінаторні задачі мають давню історію. Однак тривалий час комбінаторика не привертала до себе уваги математиків. Пояснюється це значною мірою тим, що, оскільки комбінаторні задачі формулюють для скінченних множин, то для переважної більшості таких задач існує тривіальний метод їх розв'язання – перебір. Пошук зручніших алгоритмів і методів для задач малої розмірності не викликає інтересу в дослідників, тому що виграш порівняно з тривіальним алгоритмом перебору незначний. Водночас комбінаторні задачі великої розмірності навіть за умови застосування найефективніших алгоритмів потребують такої кількості операцій (обсягу обчислень), що стають практично нерозв'язними.

Ситуація кардинально змінилася з появою ЕОМ. З'явилась реальна можливість для розв'язання комбінаторних задач доста-

тньо великої розмірності. Виявилося, що для таких задач різноманітні вдосконалення й оптимізація відповідних алгоритмів зумовлюють істотний виграш у часі та пам'яті. Це, у свою чергу, дає змогу додатково збільшити розмірність задач, які можна розв'язувати за допомогою "хороших" алгоритмів. Розробка й дослідження загальних принципів побудови оптимальних комбінаторних алгоритмів для розв'язування різноманітних комбінаторних задач – одні з найважливіших проблем сучасної теорії та практики програмування.

3.1.Комбінаторні обчислення дляосновнихтеоретико-множиннихоперацій.

Формула включення-виключення

Якщо A та B – довільні скінченні множини, то безпосередньо із означення теоретико-множинних операцій випливають спів-

відношення | A \ B | = | A | – | A ∩ B | і | B \ A | = | B | – | A ∩ B |.

Як і раніше, через |M| позначено кількість елементів скінченної множини M.

Очевидно також, що коли множини A та B не перетинаються,

цією формулою дістав назву методу (принципу) включення та

виключення.

Приклад 3.1.

1. Зі 100 студентів факультету англійську мову знає 61 студент, французьку – 43, німецьку – 26, англійську і французьку – 25, англійську й німецьку – 17, французьку й німецьку – 14, усі три мови знають 8 студентів. Скільки студентів не знають жодної з трьох мов?

140

Позначимо через A, B, C множини студентів, які знають англійську, французьку та німецьку мову. Тоді кількість студентів, які знають принаймні одну мову, згідно з (3.1) становить

| A B C | = | A | + | B | + | C | –

–(| A ∩ B | + | A ∩ C | + | B ∩ C |) + | A ∩ B ∩ C | =

=61 + 43 + 26 – (25 + 17 + 14) + 8 = 92.

Отже, шукана кількість дорівнює 100 – 92 = 8.

2. Знайти кількість натуральних чисел, що не перевищують 1000 і не діляться ні на 3, ні на 5, ні на 7.

Позначимо через Ak множину натуральних чисел, що не перевищують 1000 і діляться на k. Множиною натуральних чисел, що не перевищують 1000 і діляться або на 3, або на 5, або на 7, є множина

A3 A5 A7,

а шуканою множиною є

E \ (A3 A5 A7),

де множина-універсум E – всі натуральні числа від1 до 1000. Тоді

| E \ (A3 A5 A7) | = | E | – | E ∩ (A3 A5 A7) | =

= | E | – | A3 A5 A7 |

(див. співвідношення (2.3)).

| E | = 1000, а вираз | A3 A5 A7 | обчислюють за (3.1). Крім того, | Ak | = [1000/k] і Ak ∩ Al = Am, де m – найменше спільне кратне чисел k і l (через [x/y] позначено цілу частину від ділення x на y). ◄ Нарешті, розглянемо останню теоретико-множинну операцію –

Формулу (3.2) часто називають основним правилом комбіна торики (або правилом множення).

Нехай потрібно виконати одну за одною n дій. Якщо першу дію можна виконати k1 способами, другу – k2 способами і т. д., а n-ту – kn способами, то всі n дій разом можна виконати k1k2…kn способами.

Приклад 3.2.

1. Кількість слів довжиною m в алфавіті A (|A| = n) становить |Am| = |A|m = nm. Цей результат випливає також із того, що побудову одного зі слів довжиною m можна розкласти на m кроків (або дій): перший крок – вибір першої літери слова, другий –

141

вибір другої літери слова і т. д., m-й – вибір останньої літери. Кожну з цих дій можна виконати n способами.

2. З'ясуємо, скількома способами можна розподілити k різних предметів серед n осіб.

Нехай A – множина осіб, серед яких розподіляють предмети. Кожному варіанту розподілу поставимо у відповідність кортеж (ai1, ai2, …, aik), де aij – особа, яка одержала j-й предмет. Установ-

лена відповідність взаємно однозначна, отже, множина варіантів розподілу містить таку саму кількість елементів, що й множина всіх кортежів довжиною k, утворених з елементів множини A. Тому шукане число становить |Ak| = |A|k = nk.

3. Нехай A та B – скінченні множини, |A| = n, |B| = m. Обчислимо кількість усіх можливих відображень множини A в множину B. Кожне відображення ϕ: A → B можна повністю задати його табл. 3.1, де a1, a2, …, an – елементи множини A, а ϕ(a1), ϕ(a2), …, ϕ(an) – відповідні образи. Кожен з образів можна обрати m способами.

Отже, існує mn способів утворення рядка значень для відо-

браження ϕ у табл. 3.1, тому кількість відображень типу A → B становить |BA| = mn = |B||A|.

4.Скількома способами можна розмістити на шахівниці 8 тур так, щоб вони не били одна одну?

8! Є вісім способів розташувати першу туру на першій вертикалі шахівниці, сім способів розташувати другу туру на другій вертикалі і т.д., один спосіб розташувати восьму туру на останній вертикалі.

5.Скільки існує n-значних десяткових чисел,

(а) усі цифри яких парні; (б) у запису яких є принаймні одна парна цифра;

(в) у запису яких немає цифри 7; (г) у запису яких обов'язково є цифра 5?

(а) 4 5n – 1. Першу цифру такого числа можна обрати чотирма способами (2, 4, 6 або 8), а кожну наступну – п'ятьма.

142

(б) 9 10n – 1 – 5n. Від кількості всіх n-значних десяткових чисел

слід відняти кількість n-значних чисел, усі цифри яких непарні. (в) 8 9n – 1.

(г) 9 10n – 1 – 8 9n – 1 (див. (б) і (в)).

6. Визначити, скільки різних натуральних дільників має число:

(а) 21001 32015 72002; (б) 40042124.

(а) Довільний дільник даного числа має вигляд 2n 3m 7k, де n може набувати значення в діапазоні від 0 до 1001 (тобто є 1002 варіанти обрати n), m – від 0 до 2015, а k – від 0 до 2002. Отже, шукана кількість дільників дорівнює 1002 2016 2003.

(б) Слід розкласти число 4004 на прості множники й застосувати міркування, наведені в попередньому пункті.

7. Нехай множина A містить n елементів, а множина B – m елементів. Визначити кількість:

(а) відповідностей; (б) усюди визначених відповідностей; (в) функціональних відповідностей між множинами A та B. (а) Оскільки відповідність C між A та B – це довільна підмножина декартового добутку A B, то кількість таких відповідностей дорівнює кількості елементів булеана множини A B, яка містить nm елементів. Це число дорівнює 2nm, оскільки для будь-якої підмножини M A B і для довільного елемента a A B (nm варіантів вибору) можливі лише дві ситуації: або елемент a належить множині M, або елемент a не належить

множині M.

(б) Будь-яка відповідність C між A та B однозначно задається множиною образів C(a), a A. Для всюди визначеної відповідності C кожна з цих множин (що є підмножиною множини B) має бути непорожньою. Кількість непорожніх підмножин множини B дорівнює 2m – 1. За правилом множення кількість усюди визначених відповідностей дорівнюватиме (2m – 1)n.

(в) Множиною образів f(a) функціональної відповідності f між A та B для кожного a A може бути або деяка одноелементна підмножина множини B, або порожня множина. Отже, є m + 1 варіант обрати образ для кожного з n елементів множини A, тому кількість функціональних відповідностей дорівнює (m + 1)n.

8. Нехай множина M містить n елементів. Визначити кількість: (а) відношень; (б) рефлексивних відношень;

143

(в) нерефлексивних відношень; (г) антирефлексивних відношень; (д) симетричних відношень; (е) антисиметричних відношень;

(є) рефлексивних і антисиметричних відношень;

(ж) рефлексивних і несиметричних відношень на множині M.

Нехай m = n2, k = n2 – n, l = k/2.

(а) 2m. Кількість відношень на множині M дорівнює кількості елементів булеана множини M × M, яка містить m = n2 елементів.

(б) 2k. Будь-яке рефлексивне відношення R на множині M можна подати у вигляді R = iM R′, де R′ – множина недіагональних елементів із M × M. Кількість варіантів обрати R′ дорівнює кількості елементів булеана множини (M × M) \ iM, що містить k = n2 – n елементів.

(в) Ця кількість дорівнює різниці кількостей усіх відношень і

рефлексивних відношень на M, тобто 2m – 2k. (г) 2k (див. (б)).

(д) Будь-яке симетричне відношення на M однозначно задається вибором довільної підмножини діагоналі iM та довільної підмножини з елементів, розташованих над (або під) діагоналлю. Кількість елементів, з яких здійснюється вибір, становить n + l = n(n + 1)/2, тому кількість симетричних відношень

2n + l = 2n(n + 1)/2.

(е) Для того щоб утворити антисиметричне відношення R, слід узяти довільну підмножину діагоналі iM (2n способів) і додати до неї деяку множину недіагональних елементів, ураховуючи те, що з пари (a, b) і (b, a) симетричних недіагональних елементів до R може входити або лише один із цих елементів, або жоден (3l способів, оскільки кількість таких пар дорівнює l). Отже, існує 2n 3l = 2n 3n(n – 1)/2 антисиметричних відношень на множині M.

(є) 3n(n – 1)/2 (див. попередній пункт).

(ж) Нехай Р – множина рефлексивних відношень, а С – множина симетричних відношень на множині M. Тоді множина рефлексивних і несиметричних відношень на множині M – це

Р \ С. | Р \ С| = | P | – | Р ∩ С| = 2k – 2l (див. п. (б) і (д)). ◄

144

Завдання для самостійної роботи

1. Нехай M – скінченна множина і A, B M. Розташуйте у порядку неспадання такі величини:

(а) | B |, | A B |, | |, | A ∩ B |, | M |;

(б) | A\B |, | A | + | B |, | A B |, | |, | A B |.

2. Довести нерівності:

3.Нехай A – скінченна множина, a – елемент, а B – підмножина множини A. Яких підмножин множини A більше:

(а) тих, що містять елемент a, чи тих, що немістять елемента a; (б) тих, що містять множину B, чи тих, що не перетинаються

із множиною B;

(в) тих, що включають множину B, чи тих, що не включають множину B?

4.У групі 27 студентів. Із них 16 відвідують семінар А, 12 – семінар Б, а 7 студентів не відвідують жодного семінару.

(а) Скільки студентів відвідують семінари А та Б? (б) Скільки студентів відвідують лише семінар А?

5.Обстеження читацьких смаків студентів показало, що 60 % студентів читають журнал А, 50 % – журнал Б, 50 % – журнал В, 30 % – журнали А та Б, 20 % – журнали Б і В, 40 % – журнали А та В, 10 % – журнали А, Б і В. Скільки відсотків студентів:

(а) читають принаймні один журнал; (б) не читають жодного з журналів; (в) читають точно два журнали; (г) читають не менше двох журналів?

6.Знайти кількість і суму чотиризначних натуральних чисел, що не діляться на жодне з таких чисел:

(а) 2, 5, 11; (б) 6, 10, 18.

7.Знайти кількість простих чисел, що не перевищують 120.

8.Під час екзаменаційної сесії з чотирьох іспитів не менше 70 % студентів склали іспит з дискретної математики, не менше 75 % – з математичного аналізу, не менше 80 % – з алгебри й не

145