discrete_mathematics

В інтуїтивній теорії множин поняття множина належить до первинних понять, тобто його не можна безпосередньо означити через інші простіші терміни чи об'єкти. Тому такі поняття зазвичай пояснюють на прикладах, апелюючи до уяви та інтуїції. Такими поняттями в математиці є також число, пряма, точка, площина тощо. Водночас треба зазначити, що відсутність строгих означень зовсім не означає, що не можна будувати строгі обмежені моделі цих понять. Такі означення роблять через опис зв'язків з іншими поняттями.

Канторівський вираз: Множина – це об'єднання в єдине ціле певних об'єктів, які чітко розрізняються нашою інтуїцією чи нашою думкою, – безумовно не можна вважати строгим математичним означенням. Це, скоріше, пояснення поняття множини, яке заміняє термін множина на термін об'єднання. Іншими си-

нонімами основного слова множина є сукупність, набір, колек-

ція тощо. Прикладами множин можуть бути: множина десяткових цифр, множина літер українського алфавіту, множина мешканців Києва, множина парних чисел, множина розв'язків якогось рівняння тощо.

На письмі множини позначають зазвичай великими літерами. Для деяких множин у математиці використовують сталі позначення. Наприклад, Z – множина цілих чисел, N – множина натуральних чисел, Q – множина раціональних чисел, R – множина дійсних чисел тощо.

Об'єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами. Елементи множин позначатимемо малими літерами латинського алфавіту. Той факт, що об'єкт a є елементом множини M, записують так: a M (читають: a належить мно-

жині M або a – елемент множини M). Знак належності елемен-

та множині є стилізацією першої літери грецького слова εστι (бути). Те, що елемент a не належить множині M, позначають так: a M або a M.

Запис a, b, c, …M використовують для скорочення запису a M, b M, c M, … .

Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є кількістю елементів цієї множини; інакше множина є нескінченною. Кількість елементів скінченної множини A традиційно позначають через |A|.

87

Для задання множини, утвореної із будь-яких елементів, використовуватимемо два способи. В основі обох лежить позначення множини за допомогою фігурних дужок.

1. Якщо a1, a2, …, an – деякі об'єкти, то множину цих об'єктів позначають як {a1, a2, …, an}, де у фігурних дужках міститься перелік усіх елементів відповідної множини. Так можна задавати лише скінченні множини. Порядок запису елементів множини в такому позначенні неістотний.

Приклад 2.1. Множину всіх десяткових цифр записують як {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, множину основних арифметичних

операцій – як {+, –, , /}, а множину розв'язків нерівності – як (x – 1)2 ≤ 0 – {1}. ◄

Зазначимо, що одна з основних ідей канторівської теорії множин – розгляд множини як нового самостійного об'єкта математичного дослідження. Тому потрібно розрізняти такі два різні об'єкти, як елемент a та множина {a}, яка складається з єдиного елемента a. Зокрема, множини можуть бути елементами якоїсь іншої множини. Наприклад, множина

D = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}

усіх можливих пар з елементів a, b, c складається із трьох елементів, її задано цілком коректно.

2. Другий спосіб задання множин ґрунтується на зазначенні загальної властивості або породжувальної процедури для всіх об'єктів, що утворюють описувану множину.

У загальному випадку задання множини M має вигляд

M = {a | P(a)}.

M – це множина всіх тих і тільки тих елементів a, для яких виконується умова P.

Через P(a) позначено або властивість, яку мають елементи множини M, або деяку породжувальну процедуру, що описує спосіб отримання елементів множини M з уже відомих її елементів чи інших об'єктів. Замість вертикальноїриски іноді пишуть двокрапку.

Приклад 2.2.

1. Множину всіх непарних цілих чисел можна задати так: S = {n | n – непарне ціле число} або S = {n | n = 2k + 1, k Z}.

Множина F = {fi | fi + 2 = fi + 1 + fi, i N, f1 = f2 = 1} – це множина чисел Фібоначчі.

88

2. З яких елементів складається множина

B = {y | y = x + z, x, z A},

якщо A = {1, 2, 3}?

B = {2, 3, 4, 5, 6}. ◄

Другий спосіб задання множин загальніший. Наприклад, уведену вище множину D усіхпар зелементів a, b, c можна задатитак:

D = {{x, y} | x{a, b, c}, y{a, b, c} та x ≠ y}.

Дві множини A та B називають рівними (записують A = B), якщо вони складаються з тих самих елементів.

Приклад 2.3.

1. Які з наведених співвідношень є правильними?

(а), (д), (ж), (и), (і) – правильні. ◄

Для зручності та однорідності виконання математичних викладок уводять поняття множини, яка не містить жодного елемента. Таку множину називають порожньою множиною і позначають . Наприклад, якщо досліджують множину об'єктів, які мають задовольняти певні властивості, і з'ясовують, що таких об'єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна позначати за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад = { x | x ≠ x} тощо. Водночас твердженням множина M – непорожня можна замінювати рівносильне йому твер-

дження існують елементи, що належать множині M.

Приклад 2.4.

1. Які з наведених співвідношень є правильними?

(в), (є), (з) – правильні. ◄

2.2. Підмножини

Дві множини A та B називають рівними (записують A = B), якщо вони складаються з однакових елементів.

Множина A називається підмножиною множини B (записують A B або B A) тоді й тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься в множині B. Знаки і називають знаками

включення.

Неважко переконатись, що A = B тоді й тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: A B і B A. Крім того, якщо A B і B C, то A C. Останні два факти часто використовують у доведеннях тверджень про рівність двох заданих множин.

Якщо A B, але A ≠ B, то пишуть A B і називають множи-

ну A власною (строгою, істинною) підмножиною множини B.

Знак (або ), на відміну від знака (або ), називають зна ком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується включення A A. Крім того, вважають, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто A (зокрема ).

Слід чітко розуміти різницю між знаками та і не плутати ситуації їх використання. Якщо {a} M, то a M, і навпаки. Однак із включення {a} M не випливає {a} M. Для будьякого об'єкта x виконується x . Наприклад, для множини D (2.1) та її елементів виконуються такі співвідношення:

90

{a, b}D, {{a, b}, {b, c}} D, a{a, b}, {c} {a, c}, {a} {a, b}.

Приклад 2.5.

1. Які з наведених співвідношень є правильними?

(в), (г), (е), (ж), (з) – правильні.

2. Нехай A = {1, 2, {1}}. Які з наведених співвідношень є пра-

(а), (б), (г), (д), (є), (и), (ї) – правильні.

3.Нехай A = { , 1, {1}, {2}}. Які зі співвідношень попередньої задачі є правильними?

(а), (б), (г), (д), (е), (ж), (і), (ї), (к), (л) – правильні.

4.Які з наведених співвідношень є правильними:

(а), (б), (д), (е), (є) – правильні.

5. Які з наведених тверджень правильні: (а) якщо A B і B C, то A C;

(б) якщо A B і B C, то A C;

(в) якщо A B і B C, то A C;

(г) якщо A B і B C, то A C?

У тих випадках, коли твердження неправильне, разом із контрприкладами побудуйте окремі приклади, для яких воно виконується.

Тільки б, в – правильні. (а) Контрприклад:

для A = {1}, B = {{1}, 2}, C = {{{1}, 2}, 3}

твердження хибне.

91

Приклад, коли твердження виконується:

A = {1}, B = {{1}, 2}, C = {{{1}, 2}, {1}}. (г) Контрприклад: для

A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 3}

твердження хибне.

Приклад, коли твердження виконується:

A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 1}.

6. Чи є наведене твердження правильним: якщо A B і B C, то A C?

Ні. Контрприклад: для A = {1}, B = {2}, C = {{1}, 3} це твердження хибне. ◄

Множину всіх підмножин множини A (скінченної чи нескінченної) називають булеаном множини A та позначають β(A).

Для булеана множини A використовують також інші позна-

чення: 2A, P(A), B(A) або Μ(A).

Наприклад, для множини A = {a, b} маємо

β(A) = { , {a}, {b}, {a, b}}.

Приклад 2.6.

1. Для заданої множини A побудувати множину всіх підмножин множини A, тобто її булеан β(A).

{ , {1}, {2}}, { , {1}, {1, 2}}, { , {2}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {1, 2}}, { , {1}, {2}, {1, 2}}}. ◄

Завдання для самостійної роботи

(в) B = { y | y = x z, x, z A}.

92

(з) {1, 3} {{1, 3}}.

7. Нехай A = {1, 2, {2}}. Які з наведених співвідношень пра-

93

2.3.Операції над множинами та їхні властивості

Для множин можна ввести низку операцій (теоретикомножинних), результатом виконання яких також є множини. За допомогою цих операцій можна конструювати нові множини із заданих.

Нехай A та B – якісь множини.

Об'єднанням множин A та B (позначають A B) називають множину тих елементів, які належать принаймні одній із множин A чи B. Символічно операцію об'єднання множин записують так:

A B = {x | x A або x B}, чи x A B (x A) (x B).

Приклад 2.7. {a, b} {c, d,} = {a, b, c, d,}, {a, c} = {a, c}, {a, b, c} {a, c, d, e} = {a, b, c, d, e}. ◄

Перетином множин A та B (позначють A∩B) називають множину, що складається із тих і тільки тих елементів, які належать множинам A та B одночасно, тобто

A ∩ B = {x | x A та x B}, або x A ∩ B (x A) (x B). Приклад 2.8. {a, b, c} ∩ {a, c, d, e} = {a, c}, {a, b} ∩ {c, d} = . ◄

Кажуть, що множини A та B не перетинаються, якщо

A ∩ B = .

Різницею множин A та B (позначають A \ B) називають множину тих елементів, які належать множині A та не належать множині B. Отже,

A \ B = {x | x A та x B}, або x A \ B (x A) ← (x B).

Приклад 2.9. {b, c} \ {a, d, c} = {b}, {a, c, d, e} \ {a, b, c} = {d, e}, {a, b} \ = {a, b}, {a, b} \ {a, b, c, d} = . ◄

Симетричною різницею множин A та B (позначають A B,

A B або A B) називають множину, що складається зі всіх елементів множини A, які не містяться у B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A, тобто

A B = {x | (x A та x B ), або ( x B та x A)}, або x A B ((x A) ← (x B))(← (x A) (x B)).

94

Приклад 2.10.

1. {a, b, c} {a, c, d, e} = {b, d, e}, {a, b} {a, b} = , {a, b} = {a, b}.

2. Нехай A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 5, 7} і C = {2, 4, 7}.

Обчислити:

Уведені теоретико-множинні операції можна проілюструвати

діаграмою Венна (або діаграмою Ейлера) (рис. 2.1).

У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною, або уні версумом, і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі – множину комплексних чисел C, в арифметиці – множину цілих чисел Z, у традиційній планіметрії – множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об'єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

Якщо зафіксовано універсальну множину E, то доповненням множини A (воно є підмножиною універсальної множини E й

позначається A ) називають множину всіх елементів універсальної множини, що не належать множині A, тобто

A = {x | x E та x A}, або x A ← (x A).

Зауважимо, що A = E \ A.

95