discrete_mathematics

перетворилась на нову секвенцію

0 A, 0 B, 0 ← A ← B.

В останній секвенції є лише одна складена (неатомарна) формула

0 ← A ← B,

яка свідчить, що формула ← A ← B має бути хибною.

Кон'юнкція набуває значення хиби у трьох випадках (див.

табл. 1.2):

1)коли перший і другий аргументи кон'юнкції є хибними;

2)коли перший аргумент є хибою, а другий – істиною;

3)коли перший аргумент є істиною, а другий – хибою. Ці три випадки можна замінити двома спрощеними випадками:

1)перший аргумент кон'юнкції є хибою;

2)другий аргумент кон'юнкції є хибою.

Тому далі для кон'юнкції (як і для диз'юнкції) розглядатимемо лише по два випадки.

Отже, формула ← A ← B будехибною тоді й тільки тоді, коли:

1)← A – хибне або

2)←B – хибне.

Це означає, що секвенція

0 A, 0 B, 0 ← A ← B

перетворилась на дві секвенції:

0 A, 0 B, 0 ← A та 0 A, 0 B, 0 ← B.

У першій із них неатомарною є формула 0 ←A, яку заміняємо на 1 A. Отримано секвенцію

0 A, 0 B, 1 A.

Аналізуючи її, бачимо, що в ній А має бути одночасно істиною та хибою, оскільки до секвенції входять індексовані формули 0 А та 1 А. Отримали суперечність, тому ця секвенція наше початкове твердження не може спростувати.

Тепер проаналізуємо другу секвенцію

0 A, 0 B, 0 ← B.

Перетворюючи 0 ← B на 1 В, отримуємо секвенцію

0A, 0 B, 1 В.

Уцій секвенції суперечність виникає для формули B . Отже, і ця

секвенція не може спростувати початкове наслідкове твердження.

46

Секвенції такого вигляду, тобто ті, що містять формулу, індексовану як 1 та 0, називаються замкненими. Такі суперечливі формули індексуємо знаком ×. Цим самим знаком позначатимемо й замкнені секвенції.

Ми розглянули всі можливі випадки та продемонстрували, що наслідкове твердження не може буди спростовано, тому воно є істинним. Це дає змогу зробити загальні висновки:

1)для перевірки істинності наслідкового твердження можна застосовувати метод доведення від супротивного, який полягає

впошуку суперечності для множин індексованих формул, отриманих у процесі доведення;

2)перетворення індексованих формул відбувається за правилами, індукованими семантичними властивостями операцій; правила мають засновки та висновки;

3)секвенційне доведення (секвенційне виведення) може бути подане у вигляді дерева, його корінь – початкова розмічена секвенція, а переходи задаються секвенційними правилами.

Як сформулювати секвенційні правила? Бачимо, що для кожної логічної операції є два правила: перше задає перетворення формули, яка розмічена 1, друге – формули, яка розмічена 0. Наприклад, для операції диз'юнкції можна записати два такі правила (засновки пишемо над рискою, висновки – під рискою):

Ці правила сформульовані для однієї формули, але секвенція може мати також інші формули. Позначимо їх множину як Σ . Загальне правило матиме такий вигляд (ліворуч пишемо назву правила):

Аналогічно можна побудувати правила для інших логічних операцій. Отримаємо таку сукупність секвенційних правил:

При виконанні завдань виведення доцільно записувати у зворотному порядку – тобто висновки писати над рискою, а засновки

– під рискою. Іншими словами, складніші формули пишемо над рискою, а простіші – під рискою. Отже, надалі записуватимемо секвенційні правила в такому вигляді:

Зауваження. Прямий і зворотний записи правил можна трактувати як пряме та зворотне доведення. Тому для зворотного доведення можемо в правилі засновки писати над рискою, а ви-

сновки – під рискою. Прохання звертати на це увагу при побудові доведень.

48

Нижче наведено запис секвенційного виведення розглянутого наслідкового твердження: ←(A B) |= ¬A ¬B:

A → B → A. Нагадуємо, що дужки у цій формулі розставляють таким чином: (A → (B → A)), тобто головною операцією є пер-

ша імплікація. Подаємо формулу як розмічену секвенцію:

0 A → B → A. Застосовуємо правило 0→. Назву правила пишемо ліворучвід риски. Отримуємо

( →) 0 A → B → A.

0 1 A, 0 B → A

Аналізуємо отриману секвенцію 1 A, 0 B → A. Тут є лише одна складна формула 0 B → A. Індексуємо її знаком * і застосову-

Остання секвенція є замкненою, оскільки містить формули 1 А та 0 А, тобто секвенція вимагає, щоб А було одночасно істинним і хибним. Такі формули індексуємо знаком ×. Це є суперечністю, тому початкова секвенція не має спростування. Таку замкнену секвенцію позначаємо знаком ×. Остаточно дерево виведення секвенції має вигляд

×

Побудувавши таблицю істинності, переконуємось, що початкова формула є тавтологією:

49

2. Комутативність антецедентів (засновків):

A → (B →C) ~ B → (A →C).

Формуєморозмічену секвенцію:

0 A → (B →C) ~ B → (A → C).

Головною її операцією є еквівалентність ~, тому застосовуємо правило 0 ~.

Отримано дві нові секвенції. Розглянемо першу

0 A → (B → C), 1B → (A → C).

Доцільно застосувати правило 0 → до першої формули, яку індексуємо знаком *. Це саме правило застосовуємо також для другої секвенції:

Залишилось розглянути секвенцію

1 A → (B →C), 0 B → (A → C).

Двічі застосовуємо правило 0 → до позначених формул:

( →) 1 A →(B →C), 0 B →(A →C) * .

0 ( →) 1 A →(B →C), 1B, 0(A →C) *

0 1 A →(B →C)*, 1B, 1 A, 0C

50

Будуємо дерево виведення для останньої отриманої секвенції:

Усі гілки дерева виведення замкнені, тому початкова формула є тавтологією. Це можна також перевірити за допомогою побудови семантичної таблиці:

3. Кон'юнкція антецедентів (засновків):

A → B →C ~ A B → C.

Дужки можна розставити таким чином:

(A → (B → C)) ~ ((A B) → C),

тому головною операцією є еквівалентність. Формуємо розміче-

Побудуємо дерево виведення окремо для двох зазначених секвенцій. Почнемо з першої секвенції:

××

Усі гілки дерева виведення замкнені, тобто секвенція виведена (це позначають A0 A → B → C* , 1B → C). Тепер будуємо дерево виведення для другої секвенції:

51

Зауваження. Імплікація є правоасоціативною операцією, тому A → B → C = A → (B → C); головною операцією є еквівалент-

ність, тобто дужки можна розставити таким чином: (A → (B →C)) ~ ((A → B) → C).

Для доведення істинності початкової формули треба довести (вивести) розмічену імплікацію:

0 A → (B → C) ~ (A → B) → C.

Головною операцією є еквівалентність. Тому застосовуємо

Оскільки повне виведення не вміщається по ширині сторінки, то розглянемо окремо виведення для двох секвенцій:

0 A → (B → C), 1(A → B) → C та 1 A → (B → C), 0(A → B) → C.

52

Проаналізуємо секвенцію 0 A → (B → C), 1(A → B) → C. Тут слід звернути увагу на формулу 0 A → (B → C). Правило 0 →

для її перетворення є достатньо простим, тому в секвенції будемо застосовувати його для зазначеної формули. Щоб позначити таке застосування, індексуємо згадану формулу знаком *.

Дістали виведення

( →) 0 A → (B → C)*, 1(A → B) → C .

0 1 A, 0(B → C), 1(A → B) → C

Аналізуючи отриману секвенцію, бачимо, що найпростіше перетворення буде для формули 0 (B → C). Індексуємо цю фор-

мулу в секвенції знаком * і застосовуємо правило 0 → . Виведен-

Тепер єдиною формулою, до якої можна застосувати секвен-

Отримано дві нові секвенції. Друга секвенція є замкненою,

оскільки містить 0 С та 1 С, тобто секвенція вимагає, щоб С було одночасно істинним і хибним. Ці формули індексуємо знаком × . Дістали суперечність, тому на цій гілці доведення початкова секвенція не має спростування. Таку замкнену секвенцію позначаємо знаком ×.

×

53

Отримані секвенції є замкненими. Отже, усі випадки розглянуто, секвенцію 0 A → (B → C), 1(A → B) → C доведено.

Тепер почнемо будувати виведення секвенції

1 A → (B → C), 0(A → B) → C.

Її аналіз свідчить про те, що доцільно перетворювати формулу 0 (A → B) →C. Маємо

!!

дає контрприклад, тобто вказує значення пропозиційних змінних, які спростовують формулу.

Дійсно, обчислимо значення A → (B → C) ↔ (A → B) → C за значень A, B, C відповідно 0, 0, 0. Маємо:

0 → (0 → 0) ~ (0 → 0) → 0 = 0 → 1 ~ 1→ 0 = 1 → 0 = 0.

Такий само результат отримуємо за значень А, В, С, відповід-

но 0, 1, 0. Тепер будуємо дерево виведення для секвенції

1 B →C, 1 A → B, 0C.

Отримуємо за значень А, В, С, відповідно 0, 1, 0. Маємо

0 → (1 → 0) ~ (0 → 1) → 0 = 0 → 0 ~ 1 → 0 = 1 → 0 = 0.

Повернемось до побудови дерева виведення для секвенції

1 B →C, 1 A → B, 0C.

Отримуємо

54

×

Дерево доведення замкнене, тому наслідковість доведено. Зауваження щодо застосування правил до секвенцій. Дотепер

ми детально не описували процедуру застосування секвенційних правил до секвенцій. Вона складається із трьох пунктів:

1)вибір секвенційного правила, яке можна застосувати до заданої (об'єктної) секвенції;

2)побудова уніфікатора, тобто такого зв'язку змінних у засновках секвенційного правила з певними пропозиційними формулами (чи секвенціями), що при заміні цих змінних у засновках правила на формули з уніфікатора отримаємо об'єктну секвенцію;

55