Заключение
В данной работе рассматриваются методы решения одной из базовых задач, рассматриваемых в курсе математической физики, использующих уравнения распространения тепла в стержне. В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов) и методом стоячих волн.
В работе рассматриваются как аналитический метод решения, где результат выводится при помощи математических преобразований, так и численный метод, при котором результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ). В качестве числового расчета на ЭВМ в работе рассматривается так называемый спектральный метод, использующий программу Mathlab.
Основная суть спектрального метода, это замена исходных дифференциальных уравнений в частных производных на обыкновенные диффуры для коэффициентов разложения искомых функций по некоторому базису. Базисом могут быть синусы-косинусы, комплексные экспоненты, ортогональные полиномы, если требует геометрия — цилиндрические или сферические функции. Найденные коэффициенты в каждый момент времени позволяют восстановить искомое решение, а алгоритм FFT позволяет делать это быстро. Спектральный метод эффективен в отношении памяти, поэтому широко используется в геофизике, моделировании климата и метеорологии.
Список источников
Лободенко Е.И., Курс лекции «Уравнения математической физики»
http://x-hunt.ru/zadasha/algebra37.html «Введение в математический анализ». Информационный портал.
https://habrahabr.ru/post/267401/ Информационный портал для IT специалистов. Статья «Спектральный метод на основе простых задач матфизики»
Сабитов, К.Б. Уравнения математической физики // Москва: Физматлит. – 2013