2 Распространение тепла в стержне

Основные уравнения математической физики получены на основе общих законов физики. Получим уравнение теплопроводности, рассматривая процесс теплопередачи в однородном ограниченном стержне длиной l. Будем считать,

0 x₁ x₂ l

что боковая поверхность теплоизолирована, а температура в поперечном сечении одинакова. Один конец стержня расположен в точке x = 0, тогда другой конец будет иметь координату x = l.

Пусть T(x,t) - температура в точке x в момент времени t.

Скорость распространения тепла (количество тепла протекающего через поперечное сечение стержня с абсциссой x за единицу времени) установлена опытным путем:

S - площадь сечения стержня;

λ-коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссой x₁ и x₂. Обозначим x = x₂ – x₁. Через сечение с абсциссой x₁ за время t пройдет количество тепла равное .

То же самое, для сечения с абсциссой x₂: ,

где означает при x = x_1, а производная при x = x₂.

Приток тепла в рассматриваемый элемент стержня за время t будет:

[ ] – [ ]   (5)

В выражении (5) применена теорема Лагранжа .

В результате этого притока тепла температура в рассматриваемом элементе стержня изменяется на величину T, т.е.

Q₁ -Q₂ = С xST

или Q₁ -Q₂  С xS (6)

где С – теплоемкость вещества стержня;

 - плотность вещества стержня.

Приравнивая (5) и (6) получим:  = С xS

Или = . Обозначим

Уравнение теплопроводности в стержне примет вид:

(7)

Это простейшее уравнение параболического типа.

Рассматривая процесс распространения тепла в 3-х мерном пространстве, где температура Т(x,y,z,t) является функцией координат (x,y,z) и времени t, можно получить уравнение теплопроводности в виде:

(8)

Если функция Т(x,y,z,t) не зависит от z, т.е. температура не зависит от z, то получим уравнение распространения тепла на плоскости:

= a² ( + ). (9)

Коэффициент a² имеет тот же смысл что и в уравнении (7).

3 Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Стержень считаем однородным и тонким, так, что d<<l , где d – диаметр стержня, l – его длина. Таким образом, сечение стержня считается настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну температуру. Это означает, что  , где ось   направлена вдоль стержня. Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды.

В начальный момент времени   задано распределение температуры вдоль стержня, характеризуемое  функцией  . Указан также тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня – считаем температуру на его концах равной нулю. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности

,   , (10)

при граничных условиях

,    (11)

и при начальном условии

, (12)

где   – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям согласования с требованиями (11) 

Метод разделения переменных, называемый также методом Фурье, заключается в следующем:

1. Ищем частные решения уравнения (10) в виде 

  . (13)

2. Подставляя (13) в (10) получаем уравнение 

.

Разделив обе части полученного уравнения на   из (13), имеем

  . (14)

Постоянная  , называемая постоянной разделения, появилась в (14) из следующих соображений: левая часть в (14) зависит только от переменной  , правая – только от переменной  , и эти части должны быть равны при всех значениях    и  . Поэтому оба отношения в (14) равны постоянной. Приравнивая каждое отношение в (14) постоянной, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для функций   и  :

  (15)

 (16)

3. По условию задачи функция   должна удовлетворять краевым условиям вида (16). Из (18) и (16) получаем условия для функции 

,   .

Таким образом, для функции   получили задачу: требуется найти не равные тождественно нулю решения краевой задачи

   ,  , (15’)

а также числовые значения параметра, при которых существуют ненулевые решения задачи (15), (15’).

Поставленная задача называется задачей Штурма-Лиувилля. Указанные числовые значения   называются собственными значениями (числами) краевой задачи, соответствующие этим λ ненулевые решения – собственными функциями.

Найдем собственные числа краевой задачи (15), (15’). Рассмотрим возможности:

    

Пусть  . Тогда общим решением уравнения (15) будет являться функция

.

При   и  , имеем

  ,  , 

Следовательно,  , поэтому   и начальное условие (12) не будет выполняться.

Пусть  . Тогда общее решение уравнения (15) имеет вид

.

При    и  , имеем

,  

систему двух однородных алгебраических уравнений, определитель которой не равен нулю. Поэтому  ,  . И в этом случае условие (17) не удовлетворено.

Рассмотрим случай  . В этом случае корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (15), равны  , т.е. мнимые числа.

Как известно из курса теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (15) имеет вид

.  (17)

При   получаем  . При   имеем

,   ,  , (18)

где   . Подставляя (18) в (17), получаем

.  (19)

Входящие в формулу (19) функция и постоянная снабжены индексом, поскольку их значения зависят от  .

Формула (18) определяет собственные числа, а формула (19) – собственные функции краевой задачи, соответствующие этим собственным числам.

4. Подставляя в уравнение (16) вместо   собственное значение   для определения функции  , соответствующей данному собственному значению, получаем уравнение

  (20)

Общее решение уравнения имеет вид

  , (21)

где   - произвольные постоянные.

Итак, все функции

  (22)

удовлетворяют уравнению теплопроводности (10) и граничным условиям (11) при любых значениях   и любых постоянных  . Но начальному условию (12) функции (22) в общем случае не удовлетворяют.

5. Требуем, чтобы решение удовлетворяло начальному условию (12). Для этого, учитывая (22), составим ряд

  . (23)

Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (10) и краевым условиям (11).

Предположим, что функция   разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье. В силу начального условия, полагая в (23)  , получаем

.  (24)

Написанный ряд представляет собой разложение функции   в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициенты   находятся по формуле

  . (25)

Предполагая, что   непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при   и  , получаем, что ряд (24) с коэффициентами (25) равномерно и абсолютно сходится к   (это известно из теории тригонометрических рядов).

Поскольку при   справедливы неравенства

  ,

то ряд (23) при   также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция   (23) непрерывна при  ,    и удовлетворяет начальному и граничному условиям.

Можно показать (мы не останавливаемся на этом), что функция   удовлетворяет уравнению (10) и имеет непрерывные производные по   и   первого и второго порядков соответственно [2]