Система оценивания Ответы к заданиям 1-19

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие отрезку [ ;

Решение задания

а) Решите уравнение

Решение. а) Запишем исходное уравнение:

; ,

откуда или .

Из уравнения находим .

Из уравнения находим: , где .

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку [ ; .

Получаем числа: .

Ответ: а) ;

б)

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами   и  . Длины боковых рёбер пирамиды  ,  ,  .

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Решение задания

а) Замечаем, что по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники  ABS, ADS– прямоугольные.

Действительно,

и

.

Итак,  SA ⊥ AB и ,  SA ⊥ AD  По признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем: SA ⊥ ABCD, то есть SA – высота пирамиды.

Что и требовалось доказать.

б) На прямой АВ отметим такую точку Е, что ВDСЕ - параллелограмм, тогда ВЕ=DC=АВ и DВ=СЕ. Найдем угол SCE. По теореме Пифагора:

; и .

По теореме косинусов:

;

;

Искомый угол равен .

Ответ: .

Ре­ши­те логарифмическое неравенство

Решение задания

Неравенство определено при

Откуда ОДЗ: ;

Преобразуем числитель неравенства

;

Тогда исходное неравенство примет вид:

Решим неравенство методом интервалов, предварительно определив корни выражений числителя и знаменателя.

;

.

;

.

Заметим, что выражение

,

Получим, что исходное неравенство положительно при

Учитывая ОДЗ получим ответ: .

Ответ: .

Окружность, построенная на медиане ВМ равнобедренного треугольника АВС как на диаметре, второй раз пересекает основание ВС в точке К.

а) До­ка­жи­те, что отрезок ВК втрое больше отрезка СК.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону АВ в точке N. Найдите АВ, если и .

Решение задания

Пусть AH – высота треугольника АВС. Точка К лежит на окружности с диаметром ВМ, поэтому ∠ВКМ=90º, значит, прямые МК и АН параллельны. Так как М - середина АС, отрезок МК - средняя линия треугольника АНС. Тогда К- середина СН, следовательно,

,

.

Б) Положим , ∠ВАС=α.

Тогда , . В прямоугольном треугольнике АМN:

.

Имеем ,значит, по теореме косинусов

.

Из уравнения находим, что или .

В первом случае , что противоречит условию (точка N должна лежать на отрезке АВ). Втрое решение удовлетворяет условию задачи. Следовательно, .

Ответ: б) 18.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей  на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение задания

Предположим, что долг выплачивается х лет, тогда после первого года сумма в банке составит:

После второго года сумма долга составит

Таким образом, размер выплат за х лет составит

Или в виде

Отметим, что

Ответ: 10.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

имеет ровно три различных решения.

Решение задания

Первое уравнение задает окружность с центром в точке С1(4;4), радиусом 3.

Второе уравнение задает функцию молуля, смещенного вверх на единицу по оси OY.

Возможны три варианта, при которых количество точек пересечения окружности с графиком модуля будет равно трем.

1. Вершина второй функции «галочки» имеет координаты (4;1),

тогда

откуда

2. Ветви второй функции касаются окружности.

3. Рассмотрим случай, когда через точку С₁ проходит прямая параллельная ветви функции она имеет вид .

Тогда найдем точки пересечения окружности прямой .

Откуда и соответственно . То есть, координаты точки А ( ), точки М( )

Абсцисса точки N есть значение параметра а, при котором система будет иметь три решения. Тогда из равнобедренного треугольника AMN найдем MN и вычислим значение a.

Откуда

Аналогично находим , учитывая симметричность графика:

Ответ: 4, ,

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

,  ,

.

Известно, что .

а) Найдите  , если еще известно, что

б) Может ли  ?

в) Пусть . Найдите все значения, которые может принимать  .

Решение задания

а) Пусть количество двоек, троек и четверок соответственно равно x,y,z. Тогда единиц .

б) Пусть

Правая часть не делится на 5, левая делится. Противоречие.

в) Пусть

.

Только коэффициент при у не делится на три, значит .

Итак, . Учтем, что .

Вычитая, получим, что 10k+14z=110 или 5k+7z=55.

Только коэффициент при z не делится на 5, значит z=5m, k+7m=11.

Полученное уравнение имеет только два целых неотрицательных решения k =11, m=0, x=233 и k=4, m=1, x=250,

Ответ: а)19995; б) нет; в) 1383 или 1371

© 2016 Всероссийский проект «Самоподготовка к ЕГЭ» http://vk.com/ege100ballov

Составитель: Федеральная сеть учебных центров «Годограф» http://godege.ru/

Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2016kim01

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях