Единый государственный экзамен, 2016 г.

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

Тренировочный вариант №1 от 29.08.2015

11 / 1

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

Шоколадка стоит 31 рубль. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 170 рублей в воскресенье?

Ответ: ___________________________.

На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По  горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).

Ответ: ___________________________.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15. Найдите площадь закрашенной фигуры.

О твет: ___________________________.

В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 16 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам.

Ответ: ___________________________.

Найдите корень уравнения .

Ответ: ___________________________.

Угол ACO равен 27°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона  CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.

О твет: __________________________.

На рисунке изображены график дифференцируемой функции   и касательная к нему в точке с абсциссой  . Найдите значение производной функции  в точке  .

Ответ: ___________________________.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, D, E, F, D₁, E₁, F₁ правильной шестиугольной призмы  ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы.

Часть 2

Найдите значение выражения

Ответ: ___________________________.

Водолазный колокол, содержащий моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением , где – постоянная, – температура воздуха. Найдите, какое давление (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работав 15 960 Дж.

Ответ: ___________________________.

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 153 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним со скоростью на 8 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: ___________________________.

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке [-1; 2].

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы.

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие отрезку [ ;

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами   и  . Длины боковых рёбер пирамиды  ,  ,  .

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Ре­ши­те логарифмическое неравенство

Окружность, построенная на медиане ВМ равнобедренного треугольника АВС как на диаметре, второй раз пересекает основание ВС в точке К.

а) До­ка­жи­те, что отрезок ВК втрое больше отрезка СК.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону АВ в точке N. Найдите АВ, если и .

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей  на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

имеет ровно три различных решения.

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₄₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁=a₁+a₂+…+a₄₅₀, S₂=a²₁+a²₂+…+a²₄₅₀,

S₃=a³₁+a³₂+…+a³₄₅₀, S₄=a⁴₁+a⁴₂+…+a⁴₄₅₀.

Известно, что S₁=739.

а) Найдите S₄, если еще известно, что S₂=1779, S₃=5611.

б) Может ли S₄=6547?

в) Пусть S₄=6435. Найдите все значения, которые может принимать S₂.