Практическая работа № 10

Тема: Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Цель: Научиться находить изгибающие моменты и напряжения и производить расчеты на прочность и жесткость при изгибе.

Задание:

1. Вычислить реакции опор

2. Определить значения поперечных сил и изгибающих моментов

3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

№ Варианта	q, кН/м	P, кН	m, кН·м	№ Варианта	q, кН/м	P, кН	m, кН·м
1	9	50	20	14	5	35	60
2	2	40	50	15	7	65	50
3	5	70	90	16	3	85	80
4	3	90	110	17	14	120	40
5	7	50	100	18	13	140	130
6	6	60	120	19	17	180	50
7	12	30	150	20	19	100	90
8	16	40	160	21	5	30	70
9	10	80	180	22	4	20	130
10	15	90	170	23	8	55	140
11	9	45	150	24	6	75	160
12	3	65	140	25	4	85	170
13	18	75	160

1	2
3	4

5	6
7	8
9	10
11	12

13

14

15	16
17	18
19	20
21	22
23	24
25	26

Теоретическая часть:

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом т (рис. 32.1а)_.

При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

Сечения бруса, плоские и пер­пендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и пер­пендикулярными продольной оси.

Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные на­пряжения.

Поперечные размеры сечений не меняются.

Продольная ось бруса после деформации изгиба искривляется и образует дугу окружности радиуса ρ (рис. 32.1б). Материал подчиняется закону Гука.

Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.1б). Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется слой, в котором нормальные напряжения σ равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; ρ — радиус кривизны нейтрального слоя.

Рассмотрим деформа­цию слоя, расположенного на расстоянии у от ней­тральной оси (участок АВ, рис. 32.1).

Длина участка до дефор­мации равна длине нейтральной оси:

Абсолютное удлинение слоя

(рис. 32.1б).

Относительное удлинение

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Еε.

Получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:

Откуда: Ранее получено

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

г деJ_x — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изображена на рис. 32.3.

По эпюре распределения нормальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает на поверхности.

Подставим в формулу напряжения значение у = y_max

Получим

О тношение принято обозначать

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления. Размерность — мм³.

W_x характеризует влияние формы и размеров сечения на проч­ность при изгибе. Напряжение на поверхности

О пределим рациональные сечения при изгибе, для этого срав­ним моменты сопротивления простейших сечений.

Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4, вывод формулы в лекции 25) ра­вен

Осевой момент сопротивления прямоуголь­ника

Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32.5).

Вариант на рис. 32.5, б обладает большим сопротивлением изгибу при прочих равных условиях.

Осевой момент инерции круга (рис. 32.6) равен

Осевой момент сопротивления круга

Все необходимые расчетные данные (площади, моменты инер­ции и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1).

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжа­тие, выбирают сечения, симметричные относительно оси, вокруг ко­торой совершается изгиб (рис. 32.7).

Расчет, на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при изгибе:

где [σ_иJ — допускаемое напряжение.

По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).

При проектировочном расчете определя­ют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.

Схема нагружения и действующие нагрузки известны.

По условию прочности можно определить нагрузочную способ­ность балки[М_и] = W_x [сг].

Расчет на прочность при изгибе

Распределение нормальных и касательных напряжений при изгибе

где М_и — изгибающий момент в сечении; Q — поперечная сила в сечении; у — расстояние до нейтрального слоя; J_x — осевой момент инерции сечения (рис. П9.1);

Wx — осевой момент сопротивления сечения; А — площадь сечения.

Условие прочности при изгибе

где [σ_и] — допускаемое напряжение.

Знаки изгибающих моментов и поперечных сил (рис. П9.2)

Задание:

1. П остроить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Пример 1:Определить прогиб посередине пролета балки, нагруженной равномерно распределенной нагруз­кой (см. рис. 2.51, а).