4.Робота сили.

Якщо змінна сила дає за напрямом вісі , тоді робота сили на відрізку обчислюється за формулою:

Приклад 18. Обчислити роботу, яку потрібно здійснити, щоб стиснути пружину на , якщо сила потрібна для стискання її на .

Розв’язання:

Згідно з законом Гука, сила , яка розтягує або стискає пружину на метрів, дорівнює , де - коефіцієнт пропорційності. За умовою , , тоді , тоді . Шукана робота сили буде:

.

Приклад 19. Для стискання пружини на необхідно здійснити роботу в . На яку довжину треба стиснути пружину, щоб здійснити роботу

Розв’язання:

Згідно з законом Гука, , тоді . Але за умовою, тоді , тобто .

Отже, . Це означає, що робота буде

, що за умовою . Отже, ; , тобто .

З цього випливає, що пружину необхідно стиснути на .

5.Сила тиску рідини.

Сила тиску рідини густини , яка діє на вертикальну пластинку, занурену в рідину, обчислюється за формулою:

,

де - прискорення вільного падіння, - площа пластини, глибина занурення пластини змінюється від до .

Приклад 20. Обчислити силу тиску бензину на стінку циліндричного баку висотою та радіусом основи .

Розв’язання:

Площа поверхні стіни циліндричного баку , де , та . Густина бензину . Тоді сила тиску бензину на стінки бака є

.

Приклад 21. Обчислити силу тиску води на занурену в неї вертикальну пластинку, трикутної форми з основою та висотою ; вершина трикутника знаходиться на рівні води, а основа – паралельна йому.

Розв’язання:

Нехай - ширина пластинки

на рівні . З подібності

та знаходимо ,

або , тоді

.

Питання для самоперевірки

1. Дати означення невизначеного та визначеного інтеграла.

2. Перелічити основні властивості інтегралу.

3. Визначити: у чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу?

4. Визначити: які є формули для визначення площі плоскої фігури за допомогою визначеного інтегралу?

5. Написати формули, за якими можна знайти об’єм тіла обертання.

6. З’ясувати, за якою формулою обчислюється шлях, пройдений тілом?

7. Написати формулу для обчислення роботи змінної сили.

8. Написати, за якою формулою обчислюється сила тиску рідини?

Самостійна робота

№1-30. Знайти інтеграли:

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б) .

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

14. а) ; б) .

15. а) ; б) .

16. а) ; б) .

17. а) ; б) .

18. а) ; б) .

19. а) ; б) .

20. а) ; б) .

21. а) ; б) .

22. а) ; б) .

23. а) ; б) .

24. а) ; б) .

25. а) ; б) .

26. а) ; б) .

27. а) ; б) .

28. а) ; б) .

29. а) ; б) .

30. а) ; б) .

№31-60. Знайти інтеграли:

31. ; 41. ; 51. ;

32. ; 42. ; 52. ;

33. ; 43. ; 53. ;

34. ; 44. ; 54. ;

35. ; 45. ; 55. ;

36. ; 46. ; 56. ;

37. ; 47. ; 57. ;

38. ; 48. ; 58. ;

39. ; 49. ; 59. ;

40. ; 50. ; 60. ;

№61-90. Обчислити визначені інтеграли:

61. а) ; б) .

62. а) ; б) .

63. а) ; б) .

64. а) ; б) .

65. а) ; б) .

66. а) ; б) .

67. а) ; б) .

68. а) ; б) .

69. а) ; б) .

70. а) ; б) .

71. а) ; б) .

72. а) ; б) .

73. а) ; б) .

74. а) ; б) .

75. а) ; б) .

76. а) ; б) .

77. а) ; б) .

78. а) ; б) .

79. а) ; б) .

80. а) ; б) .

81. а) ; б) .

82. а) ; б) .

83. а) ; б) .

84. а) ; б) .

85. а) ; б) .

86. а) ; б) .

87. а) ; б) .

88. а) ; б) .

89. а) ; б) .

90. а) ; б) .

№91-120. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмежену даними лініями:

91. та віссю .

92. .

93. .

94. та віссю .

95. та .

96. .

97. та віссю .

98. .

99. .

100. та віссю .

101. та .

102. .

103. та віссю .

104. та .

105. .

106. та віссю .

107. та .

108. .

109. .

110. .

111. .

112. .

113. .

114. .

115. та віссю .

116. .

117. .

118. .

119. .

120. .

№121-135. Зробіть креслення та обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням біля вісі фігури, обмеженої даними лініями:

121. .

122. .

123. .

124. та .

125. .

126. .

127. .

128. .

129. .

130. .

131. .

132. .

133. .

134. .

135. .

№136-150. Зробіть креслення та обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням біля вісі фігури, обмеженої даними лініями:

136. .

137. .

138. .

139. .

140. .

141. .

142. .

143. .

144. .

145. .

146. .

147. .

148. .

149. .

150. .

151. Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Обчисліть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло

152. Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за четверту секунду.

153. Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за десяту секунду.

154. Швидкість руху точки змінюється за законом . Знайти шлях, який пройшло тіло за третю секунду.

155. Швидкість руху точки . Знайти шлях, який пройшла точка від початку руху до зупинки.

156. Швидкість руху тіла . Знайти шлях, який воно пройшло за п’яту секунду від початку руху.

157. Швидкість руху точки . Знайти її шлях за другу секунду.

158. Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Знайдіть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло

159. Швидкість точки . Знайти її шлях за третю секунду.

160. М’яч кинули вертикально вгору. Знайти максимальну висоту піднімання м'яча,

якщо .

161. Обчисліть роботу, яка потрібна для розтягу пружини на , якщо сила розтягую її на .

162. Сила розтягує пружину на . Яку роботу вона виконує?

163. При стискування пружини на необхідно здійснити роботу . Яку роботу треба здійснити для стискування цієї пружини на ?

164. Обчислити роботу сили при стискуванні пружини на , якщо для стискання її на потрібна сила .

165. Пружина у спокої має довжину . Сила розтягує її на . Яку роботу треба здійснити, щоб розтягнути її від до ?

166. При стискування пружини на витратили роботу в . Яку роботу необхідно здійснити, щоб стиснути її на ?

167. Для розтягування пружини на необхідно здійснити роботу в . На яку довжину можна розтягнути пружину, якщо здійснити роботу в ?

168. Для стискання пружини на необхідна робота . На яку довжину треба стиснути пружину, щоб витратити ?

169. Під дією сили пружина розтягується на . Початкова довжина дорівнює . Яку роботу треба здійснити, щоб розтягнути її до ?

170. Пружина розтягується на під дією сили . Яку роботу виконує ця сила, розтягуючи пружину на ?

171. Обчислити силу тиску води на вертикальний прямокутний шлюз з основою та висотою (рівень води співпадає з верхнім зрізом шлюзу).

172. Обчислити силу тиску води на вертикальний прямокутний шлюз з основою та висотою .

173. Обчислити силу тиску ртуті, яка заповнює стакан циліндричної форми, на його бічну поверхню, якщо висота стакана , радіус основи , густина ртуті .

174. Обчислити силу тиску води на занурену вертикально в неї пластинку, яка має трикутну форму з основою та висотою , якщо вершина цього трикутника лежить на поверхні води, а основа паралельна до неї.

175. Циліндричний стакан наповнений олією. Обчислити силу тиску олії на бічну поверхню стакана, якщо його висота , радіус основи . Густина олії ю.

176. Обчислити силу тиску води на вертикальну прямокутну стіну з основою та висотою . Рівень води співпадає з верхнім зрізом стіни.

177. Обчислити силу тиску води на вертикальну стіну, яка має форму рівнобічної трапеції. Верхня основа трапеції співпадає з рівнем води і дорівнює , а нижня основа , висота стіни .

178. Трикутна пластинка з основою та висотою занурена у воду так, що основа співпадає з рівнем води. Обчисліть силу тиску води на пластину.

179. Розв’язати задачу №178, якщо основа трикутника паралельна рівню води, а вершина лежить на поверхні води.

180. Обчисліть силу тиску води на прямокутну пластину з основою та висотою , занурена так, що верхня основа знаходиться на нижче поверхні води.