Обчислення визначеного інтеграла

Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу Ньютона-Лейбніца:

З цієї формули легко побачити порядок обчислення визначеного інтеграла:

1) знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2) в отриману первісну підставити замість аргументу спочатку верхню межу,

потім нижню межу інтегрування;

3) результат відняти.

Приклад №10. Обчислити

Розв’язання:

Приклад №11. Обчислити

Розв’язання:

Приклад №12. Обчислити

Розв’язання:

за частинами

= =

Застосування визначеного інтеграла

1. Площі плоских фігур.

Площа криволінійної трапеції (мал. 1.), обмежену графіком неперервної функції ( де ), відрізком вісі та відрізками прямих , , обчислюється за формулою .

Площа фігури (мал.. 2.), обмежену графіками неперервних функцій та ( де ), відрізками прямих , , обчислюється за формулою .

Приклад 13. Обчислити площу фігури, обмежену параболою , прямими

, та віссю абсцис.

Розв’язання. Побудуємо необхідну площу (мал.. 3.). Тоді

Приклад 14. Обчислити площу фігури, обмежену параболами та .

Розв'язання. Побудуємо необхідну площу (мал.. 4.). Знайдемо межі інтегрування, тобто абсциси точок перетину графіків функцій та . Для цього розв'яжемо систему:

Тоді

,

Тоді

.

2. Об’єм тіла обертання.

Об’єм тіла, утвореного обертанням біля осі криволінійної трапеції , обмеженої неперервною кривою ( де ), відрізком осі та відрізками прямих та (мал. 5), обчислюється за формулою:

.

Об’єм тіла, утвореного обертанням біля осі криволінійної трапеції , обмеженої неперервною кривою ( де ), відрізком осі та відрізками прямих та (мал. 6), обчислюється за формулою:

.

Приклад 15. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням біля вісі фігури, обмеженої графіком функції , прямою та віссю .

Розв’язання. Накреслимо даний об’єм (мал.7).

Тоді

Приклад 16. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням біля вісі фігури, обмеженої параболою та прямою .

Розв’язання. Накреслимо даний об’єм (мал.8).

Тоді , але з , маємо , тоді

.

3. Шлях, пройдений тілом.

Якщо точка рухається прямолінійно та її швидкість є відома функція часу , тоді шлях, який пройшло тіло за проміжок часу , обчислюється за формулою:

.

Приклад 17. Швидкість тіла, яке рухається прямолінійно, дорівнює . Обчислити шлях, пройдений тілом від початку руху до зупинки.

Розв’язання.:

В момент зупинки швидкість тіла дорівнює , тобто

, тобто .

Тоді .