Осевая симметрия

Литература

Т

Преобразование плоскости (пространства), при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой d, называется осевой симметрией (ОС) с осью L и обозначается S_L: S_L (M) = M₁

аблица 3

Свойства:

1. При ОС прямая переходит в прямую, при этом параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

2. ОС сохраняет простое отношение трех точек.

3. При ОС отрезок переходит в отрезок, луч – в луч, полуплоскость – в полуплоскость.

4. При ОС угол переходит в равный ему угол. 5.При ОС с осью L всякая прямая, перпендикулярная оси L остается на месте.

6. При ОС ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер.

7. ОС плоскости переводит правый ортонормированный репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер – в правый. 8. 8.Композиция двух ОС плоскости с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный данным прямым, длина которого в два раза больше расстояния между данными прямыми.

Формулы осевой симметрии:

- плоскости

ось симметрии совпадает

с Ох: ; с Оу:

- пространства ось симметрии совпадает с осью

Оz: ; Оу: ;

Ох:

Задачи с подробным решением.

Задача 1. Впишите в данный острый угол треугольник наименьшего периметра так, чтобы две его вершины принадлежали сторонам угла, а третья – данной точке внутренней области угла (рис.2.1.3).

Решение данной задачи основано на свойствах осевой симметрии. Строим точки М₁ и М₂, симметричные данной точке М относительно прямых, содержащих стороны данного угла. Точки пересечения отрезка М₁М₂ со сторонами угла являются вершинами искомого треугольника. Периметр полученного треугольника равен длине отрезка М₁М₂, периметр любого другого треугольника, одной из вершин которого является точка М, а две другие принадлежат сторонам данного угла равен длине ломанной, соединяющей точки М₁ и М₂.

Метод, основанный на признаках равенства треугольников, в данном случае, является «беспомощным».

Задача 2. Даны две окружности и прямая l. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины принадлежали данным окружностям, а одна из высот – прямой l .

Рис. 7

Решение. Предположим, что треугольник АВС искомый (рис. 7). Так как высота АД равностороннего треугольника АВС принадлежит прямой l, то точки В и С симметричны относительно этой прямой и лежат на данных окружностях (развивается умение строить на произвольных окружностях точки, симметричные относительно данной прямой). Если точка С принадлежит окружности F₂ и симметрична точке В, принадлежащей окружности F₁, относительно прямой l, то точка С принадлежит также и образу окружности F₁ при симметрии относительно l. Следовательно, точка С - общая для F₂ и F₁^/ при симметрии S(l). Построив окружность F₁^/, являющуюся образом окружности F₁, найдём точку С. (развивается умение строить образ окружности при осевой симметрии).

Затем строим точку В как образ точки С при симметрии S(l), учитывая, что С принадлежит окружности F₁^/, и F₁ симметрична F₁^/ (умение строить симметричные точки на заданных симметричных окружностях). Последовательность операций, выполняемых при решении этой задачи такова:

а) строим образ окружности F₁ при симметрии S(l);

б) находим точки пересечения окружностей F₁^/ и F₂;

в) отыскиваем на окружности F₁ прообразы точек пересечения окружностей F₁^/ и F₂;

г) строим равносторонний треугольник АВС ( А ).

Задача может иметь:

а) единственное решение, когда F₂ F₁^/=С,

б) два решения, когда F₂ F₁^/={M,K}

в) бесконечное множество решений, когда F₁^/= F₂.

Задача не имеет решений, когда F₂ F₁^/=ǿ.

Задача 3. Окружность F₁ пересекает концентрические окружности F₂ и F₃ соответственно в точках А, В и С, Д. Докажите, что хорды АВ и СД параллельны.

Решение. Пусть О- центр окружности F₁ и О₁- центр окружности F₁ и F₂. И пусть F₁ F₂={A,B} F₁ F₃={C,D}.

Тогда (ОО₁) – ось симметрии фигуры F=F₁ F₂ F₃ (умение «видеть» ось симметрии).

Так как А F₁ F₂, а (А) F₁ F₂, т.е. (А)=В (умение видеть соответственные точки на соответственных фигурах).

Аналогично, (С)=Д. Т.к. [AB] [ОО₁] и [CD] ОО₁, то АВ СД.

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС точка Е является центром вписанной окружности. Прямые СЕ и ВЕ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС в точках D и F. Доказать, что ЕDAF – ромб.

Решение. Применим осевую симметрию с осью АЕ. Поскольку точки А и Е лежат на оси, значит, они инвариантны, т.е. переходят в себя; равнобедренный треугольник АВС и окружность, описанная около него, тоже переходят в себя; биссектриса СЕ угла АСВ переходит в биссектрису ВЕ угла АВС. Следовательно, точки D и F переходят друг в друга. Таким образом, мы показали, что прямая АЕ является осью симметрии четырехугольника ЕDAF. Для того чтобы доказать, что этот четырехугольник является ромбом, достаточно показать, что треугольник ADE равнобедренный. По условию задачи ВЕ– биссектриса угла АВС, значит, ∠ABF = ∠FBC. Поскольку эти углы вписаны в окружность и опираются на дуги AF и FC, то эти дуги также равны. С другой стороны, на эти же дуги опираются вписанные в окружность углы: ∠ADF и ∠FDC. Следовательно, ∠ADF = =∠FDC. А это значит, что в четырехугольнике EDAF диагонали не только взаимно перпендикулярны, но и делят пополам углы при вершинах. Отсюда следует, что четырехугольник EDAF – ромб.

Рис. 8

Задачи для самостоятельного решения.

1. Что такое осевая симметрия?

2. Доказать, что осевая симметрия является движением.

3.. Вывести формулы, задающие осевую симметрию относительно прямо-

угольной декартовой системы координат Оху.

4. В какую фигуру переходит прямая при осевой симметрии? Ответ обоснуйте.

5. Что может служить образом середины отрезка при осевой симметрии?

6. Что можно сказать о взаимном расположении образов параллельных прямых при осевой симметрии? Почему Вы так считаете?.

7. В какую фигуру при осевой симметрии преобразуется отрезок; луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.

8. В какую фигуру перейдет равнобедренный треугольник при осевой

симметрии с осью, содержащей высоту, опущенную на основание треугольника?

9. В какую фигуру перейдет окружность при осевой симметрии с осью,

проходящей через ее центр?

10. В какую фигуру перейдет пара пересекающихся прямых при осевой

симметрии, содержащей биссектрису одного из вертикальных углов, образованных этими прямыми?

11. Какая фигура будет служить образом пары параллельных прямых при

осевой симметрии, ось которой перпендикулярна данным прямым?

12. Какая фигура будет служить образом пары параллельных прямых при

осевой симметрии, ось которой параллельна данным прямым?

13. Сколько осей симметрии имеет правильный треугольник; равнобедренный треугольник?

14. Доказать, что при осевой симметрии сохраняется простое отношение трех точек.

15. Сколько осей симметрии имеет квадрат; прямоугольник; ромб?

16. На биссектрисе внешнего угла С треугольника АВС взята точка М. Доказать, что АС + СВ < АМ + МВ. [6]

17. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС точка

Е является центром вписанной окружности. Прямые СЕ и ВЕ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС в точках D и F. Доказать, что ЕDAF – ромб. [12]

18. Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О; точки B` и C` симметричны вершинам В и С относительно биссектрисы угла ВОС. Доказать, что CAC` = BDB.

19. В треугольнике точка пересечения медиан и центр описанной

окружности симметричны относительно одной из сторон. Найдите медианы

треугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см.

20.Окружность с центром в точке О пересечения медиан равнобедренного треугольника АВС пересекает его стороны ВС, АВ, СA в точках А₁ и А₂ , С₁ и С₂ , В₁ и В₂ соответственно. Доказать, что прямые, перпендикулярные сторонам ВС, АС, AВ в точках А₁ , В₁, С₁ треугольника АВС не проходят через одну точку тогда и только тогда, когда прямые, перпендикулярные к этим же сторонам, но в точках А₂ , В₂ , С₂ тоже не проходят через одну точку.[6]

21. Точки M и N симметричны вершине C треугольника ABC относительно прямых, содержащих биссектрисы его углов A и B. Доказать, что точка P касания стороны AB с вписанной в треугольник окружностью является серединой отрезка MN.[10]

22. Продолжения боковых сторон AD и BC равнобочной трапеции ABCD пересекаются в точке S. Доказать, что окружности, описанные около треугольников ACS и BDS, пересекаются в центре окружности, описанной около данной трапеции. [5]

23. Из картонного квадрата вырезан правильный двенадцатиугольник, четыре вершины которого расположены в серединах сторон квадрата. Доказать, что площадь двенадцатиугольника в три раза больше площади оставшейся фигуры. [6]

24. Построить образ квадрата ABCD при осевой симметрии, ось которой

содержит сторону АВ.

25. На плоскости даны два равных квадрата ABCD и AB`C`D` и точка М.

Построить ее образ при осевой симметрии, переводящей квадрат ABCD и квадрат AB`C`D`.

26. Составить формулы осевой симметрии с осью d, заданной относительно прямоугольной декартовой системы координат уравнением x + 2 y + 3 = 0 .

27. На сторонах угла АВС взяты точки M и N так, что ВМ = BN. Докажите, что точки М и N симметричны относительно прямой, содержащей биссектрису угла АВС.

28. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису любого плоского угла,

является его осью симметрии.

29. Докажите, что в равнобедренном треугольнике прямая, содержащая

высоту, опущенную из вершины равнобедренного треугольника на основание, является его осью симметрии.

30. Какие из элементов равнобедренного треугольника можно убрать для того, чтобы оставшаяся фигура была симметрична самой себе при осевой симметрии, содержащей высоту равнобедренного треугольника, опущенную из его вершины на основание? [8]

31. Какие из элементов прямоугольника можно убрать для того, чтобы оставшаяся фигура была симметрична самой себе относительно тех же осей, что и прямоугольник? [4]

32. Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной четырехугольной пирамиды, опущенную из вершины на основание, является ее осью симметрии.

33. Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной шестиугольной пирамиды, опущенную из вершины на основание, является ее осью сим-

метрии.

34. Какие из элементов правильной шестиугольной пирамиды можно убрать для того, чтобы оставшаяся фигура была симметрична сама себе относительно оси, содержащей высоту, опущенную из вершины на основание?

35. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед?

36. Сколько осей симметрии имеет правильный тетраэдр?

37. Доказать, что если плоская фигура имеет две перпендикулярные оси

симметрии, то она имеет центр симметрии.

38. Точка B` симметрична вершине В треугольника АВС относительно

биссектрисы его внешнего угла С. Доказать, что АВ + ВВ` > АС + ВС.

39. В четырехугольнике ABCD АВ = AD, BC = CD. Докажите, что при

осевой симметрии с осью АС точка В переходит в точку D.

40. Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Докажите, что

прямая АВ является осью симметрии фигуры, образованной объединением данных окружностей. [12]

41. Докажите, что всякая трапеция, вписанная в окружность, является равнобочной.

42. При симметрии относительно серединного перпендикуляра к диагонали BD четырехугольника ABCD вершина С переходит в точку C`. Доказать, что четырехугольники ABCD и ABC`D равновелики.

43. Доказать, что площадь любого выпуклого четырехугольника не пре-

восходит полусуммы произведений противоположных сторон. (Указание: использовать осевую симметрию относительно серединного перпендикуляра к какой-нибудь диагонали данного четырехугольника). [6]

44. В треугольнике точка пересечения медиан и центр описанной окружности симметричны относительно одной из сторон. Найдите медианы треугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см.

45. Продолжения боковых сторон AD и ВС равнобочной трапеции пересекаются в точке S. Доказать, что окружности, проведенные через точки A, C, S и B, D, S, пересекаются, помимо точки S, в центре окружности, описанной около трапеции ABCD. [10]