§ 2 Ряды Тейлора и Маклорена.

Для функции f(x), имеющей все производные до (n+1)-го порядка включительно, в окрестности точки х=а (т.е. на некотором интервале, содержащем точку х=а) справедлива формула Тейлора:

(1)

где так называемый остаточный член R_n(x) вычисляется по формуле

В рассматриваемой окрестности остаточный член R_n стремится к нулю при :

Тогда, переходя в формуле (1) к пределу при , получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

(2)

Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если

R_n(x) при . В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x).

Если в ряде Тейлора положим а=0, то получим частный случай

ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

(3)

Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.

Отметим, что для каждой из элементарных функций, существует такое а и такое R , что в интервале (а – R, a+R) она разлагается в ряд Тейлора или (если а=0) в ряд Маклорена.

Пример. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=e^x

Решение. Последовательно дифференцируя функцию f(x), будем иметь:

; ; …; ;…

Вычислим значения самой функции и ее производных при х = 0:

; ;

Подставив найденные значения производных в правую часть (3),

получим следующий степенный ряд:

Выше было установлено, что радиус сходимости этого ряда R= , то есть ряд сходится при любом значении х.

Исследуем остаточный член R_n(x).

Так как то

.

Следовательно ряд (*) сходится к функции е^х при любом х

Таким образом,

где

Глава III Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям

§1 Приближенное вычисление определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл для которого не может быть использована формула Ньютона – Лейбница, так как первообразная функция не выражается в элементарных функциях. Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а отрезок интегрирования принадлежит области сходимости этого ряда, то, ссылаясь на теорему о том, что сходящийся степенной ряд можно почленно интегрировать в любом промежутке, лежащем внутри области сходимости, получаем равенство:

Пример. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Так как для данного интеграла не может быть использована формула Ньютона – Лейбница, то разложим подынтегральную функцию в степенной ряд и затем будем почленно интегрировать полученный сходящийся ряд в указанных пределах. Заменив в разложении функции на ,

получим искомое разложение:

Следовательно,

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как шестой член этого ряда по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения требуемой точности достаточно учесть только сумму первых пяти членов.

Таким образом: