Список литературы

Основная

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. – М.: Высшая школа. 1987. – Т. 1.

2. Шнейдер И.Е.,Слуцкий А.Н.,Шумов А.С. Краткий курс высшей математики (том II).М.Высшая школа .1978

Дополнительная

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и задачах. – М.: Высшая школа. 1986 – Т.1.

2. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая школа.1964

3. Крячко И.И. Методические указания по высшей математики по теме “Ряды”(IV семестр,для студентов заочного факультета технических специальностей).РИИ.,2002

4. Крячко И.И. Контрольные задания по высшей математики по теме “Ряды”(IV семестр,для студентов заочного факультета технических специальностей).РИИ.,2002

Тематический обзор.

Введение.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют простой, и весьма совершенный, инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Глава І. Числовые ряды.

§ 1. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда.

Если числа образуют бесконечную числовую последовательность, то символ суммы бесконечного числа слагаемых, то есть выражение вида:

называют числовым рядом.

Числа называют членами ряда, а - общим членом ряда.

Общий член ряда является функцией от n. Если известно аналитическое выражение этой функции, то, давая n последовательно значения 1, 2, 3 … , можно найти сколько угодно членов ряда.

Сумма первых n членов ряда (1) называется n - й частичной суммой ряда и обозначается

Частичная сумма есть переменная величина; она является функцией натурального числа n.

Исходя из определения частичной суммы, имеем:

Если бесконечная последовательность частичных сумм ряда (1)

имеет конечный предел, то есть

то говорят, что этот ряд сходится. В этом случае число S называется суммой сходящегося ряда (1).

Если же частичная сумма не имеет конечного предела при , то ряд (1) называется расходящимся. В этом случае не имеет смысла говорить о его сумме.

Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то разность называется n-м остатком ряда и обозначается , очевидно, остаток

также является числовым рядом.

Пример 1. Написать пять первых членов ряда по данному общему члену

Решение. Подставляя в формулу общего члена последовательно значения n=1, 2, 3, 4, 5, получим:

Пример 2. Написать формулу общего члена для каждого ряда:

а)

б)

Решение.

а) Знаменатели членов данного ряда – натуральный ряд чисел.

Следовательно, общий член

б) Числители членов данного ряда – четные числа вида 2n, а знаменатели – числа, которые могут быть получены по формуле 3n+2. Следовательно, общий член

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд (5) есть геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен q. Известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле (при ).

Если знаменатель прогрессии q по абсолютной величине меньше единицы, то есть , то

и

Следовательно, при ряд (5) сходится и его сумма равна . Если знаменатель прогрессии , то и Ряд (5) в этом случае расходится.

При q=1, при q=-1 последовательность частичных сумм имеет вид 1, 0, 1, 0, 1 … и не стремится ни к какому пределу.

Таким образом, при q= 1 и при q=-1 ряд (5) расходится.