Вопрос 4. Общезначимость и выполнимость формул логики предикатов

О.4.1. Формула А называется выполнимой в области М, если существуют значения переменных из области М, входящих в эту формулу, при которых формула А принимает истинные значения.

О.4.2. Формула А называется выполнимой, если существует область, на которой эта формула выполнима.

Из О.4.2. следует, что если формула выполнима, то это еще не означает, что она выполнима в любой области.

О.4.3. Формула А называется тождественно истинной (тождественно ложной) в области М, если она принимает истинные (ложные) значения при всех значениях переменных из области М, входящих в эту формулу.

О.4.4. Формула А называется общезначимой, если она тождественно истинная на всякой области.

Общезначимая формула называется логическим законом.

Из приведенных определений следует:

1. Если формула А общезначима, то она и выполнима на всякой области.

2. Если формула А тождественно истинная в области М, то она и выполнима в этой области.

3. Если формула А тождественно ложная в области М, то она и не выполнима в этой области.

4. Если формула А не выполнима, то она тождественно ложная на всякой области.

Пример 6.

Формула ху Р(х,у) выполнима. Она является тождественно истинной, а, следовательно, и выполнимой в области М = ₀  ₀, где ₀ = 0,1,2,.., Р(х,у) – предикат «х  у». Однако если предикат «х  у» рассматривается в конечной области М₁ = Е₁  Е₁, где Е₁ = 0,1,2,…,k, то формула ху Р(х,у) будет тождественно ложной (не выполнимой) в области М₁. Очевидно, что формула ху Р(х,у) не общезначима.

Пример 7.

Формула тождественно истинная в любой области М, следовательно, она общезначима, т.е. является законом логики (закон исключенного третьего).

Пример 8.

Формула тождественно ложная в любой области М, следовательно, она не выполнима.

Существуют некоторые критерии, позволяющие определить, общезначима формула или нет. Эти критерии основаны на связи между общезначимостью и выполнимостью формул логики предикатов. Эта связь выражается двумя следующими теоремами.

Т.4.1. Для того чтобы формула А была общезначима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрицание Ā было не выполнимо.

Т.4.2. Для того чтобы формула А была выполнима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрицание Ā была не общезначимо.

Вопрос 5. Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов

Проблема разрешимости в логике предикатов ставится так же, как и в алгебре высказываний: существуют ли алгоритмы, позволяющие для любой формулы А логики предикатов установить, к какому классу она относится, т.е. является ли она общезначимой, выполнимой или тождественно ложной.

Если бы такой алгоритм существовал, то, как и в алгебре высказываний, он сводился бы к критерию тождественной истинности любой формулы логики предикатов.

В отличие от алгебры высказываний в логике предикатов не применим метод перебора всех вариантов значений переменных, входящих в формулу, так как таких вариантов может быть бесконечное множество.

Алонзо Черч (1903 - 1995) – американский математик и логик.

В 1936 г. американский математик А.Черч доказал, что в общем виде проблема разрешимости логики предикатов не имеет алгоритмического решения, т.е. не существует алгоритма, который бы позволил установить, к какому классу формул относится любая формула логики предикатов.

Проблема разрешимости в логике предикатов допускает решение в ряде частных случаев.