Значение формулы логики предикатов

О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество М, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов переменных:

1. значений входящих в эту формулу переменных высказываний;

2. значений свободных предметных переменных из множества М;

3. значений предикатных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение.

Вопрос 2. Равносильные формулы логики предикатов

О.2.1. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

О.2.2. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они равносильны на всякой области.

Обозначение: А  В.

Все равносильности алгебры высказываний будут верны, если в них вместо переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов.

Основные равносильности логики предикатов

Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а с – переменное высказывание.

Вопрос 3. Предваренная нормальная форма представления формул логики предикатов

В алгебре высказываний были введены ДНФ и КНФ, которые позволяют упрощать многие доказательства в алгебре высказываний. Проблемы, возникающие в логике предикатов при оперировании с кванторами и областями действия кванторов, бывают достаточно сложными. В частности, к некоторым трудностям может привести наличие в формуле одновременно связанной и свободной одной и той же переменной. Поэтому в логике предикатов путем тождественных преобразований данную формулу так же приводят к более простому или стандартному виду – к нормальной форме.

О.3.1. Говорят, что формула логики предикатов имеет нормальную форму, если она содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена к элементарным формулам.

Т.3.1. Для любой формулы логики предикатов существует равносильная ей нормальная форма, причем множества свободных и связанных переменных этих формул совпадают.

Пример 4.

Приведем к нормальной форме формулу (х Р(х) уQ(у))R(z).

Решение

Среди нормальных форм логики предикатов большое значение имеют предваренные нормальные формы. В них кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо используются после всех операций алгебры высказываний.

О.3.2. Предваренной нормальной формой (ПНФ) формулы логики предикатов называется формула вида

(К₁х₁) (К₂х₂) … (К_nх_n) R(х₁,х₂,…,х_m),

где n ≤ m; К_i – один из двух кванторов ( или ); х_i – переменные, входящие в формулу

(i = 1,2, ..,n); R(х₁,х₂,…,х_m) – формула, не содержащая кванторов.

Выражение (К₁х₁) (К₂х₂) … (К_nх_n) называется префиксом данной формулы, а формула R(х₁,х₂,…,х_m) – ее матрицей.

Если все К_i равны , то ПНФ называется -формулой или универсальной формулой.

Если существует i (0 ≤ i ≤ n) такое, что К₁, К₂, …, К_i суть , а К_i+1, К_i+2,…, К_n суть , то такая ПНФ называется скулемовской нормальной формой или -формулой.

Альберт Торальф Скулем (1887-1963) – норвежский математик.

Т.3.2.Всякая формула логики предикатов может быть приведена к предваренной нормальной форме.

Пример 5. Привести к ПНФ формулу

Решение

Проводя равносильные преобразования, получим